IASK高考数学总复习空间中平行与垂直.doc

IASK_高考数学总复****空间中平行与垂直
IASK_高考数学总复****空间中平行与垂直
1/17
IASK_高考数学总复****空间中平行与垂直
高考数学（理）总复****空间中的平行与垂直
题型一空间位置关系的判断平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面
面之间的平行、垂直关系相互转化．
(2)数学思想
①本例在证明线线垂直、线面平行时，采用了转化与化归思想．
②利用转化与化归思想还可以解决本专题中的线面其他位置关系．
求解多面体的体积问题，如最值问题、高的问题、点面距离的问题，一般利用公式法、等体积法、割补法、函数与方程的思想求解．
【例2】如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB
1
＝BC＝2AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.
(1)证明：直线BC∥平面PAD；
IASK_高考数学总复****空间中平行与垂直
IASK_高考数学总复****空间中平行与垂直
5/17
IASK_高考数学总复****空间中平行与垂直
3
IASK_高考数学总复****空间中平行与垂直
IASK_高考数学总复****空间中平行与垂直
17/17
IASK_高考数学总复****空间中平行与垂直
(2)若△PAD面积为27，求四棱锥P－ABCD的体积．
【解析】(1)证明：在平面ABCD内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥?
平面PAD，AD?平面PAD，故BC∥平面PAD.
1
(2)取AD的中点M，连结PM，CM，由AB＝BC＝2AD及BC∥AD，∠ABC
＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.
因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面
ABCD，平面PAD∩平面ABCD
＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD，因为CM?底面ABCD，所以PM⊥CM.
设BC＝x，则CM＝x，CD＝2x，PM＝
3x，PC＝PD＝，连结PN，
则PN⊥CD，所以PN＝14
x
2
因为△PCD的面积为2
1
14
7，所以×2x×
2
x＝27，解得x＝2(舍去)，x＝2，于是AB
2
＝BC＝2，AD＝4，PM＝2
1
22＋4
×23＝4
3.
3，所以四棱锥P－ABCD的体积V＝×
2
3
题组训练二平行与垂直的证明与体积
如图，平面ABCD⊥平面ADEF，四边形ABCD为菱形，四边形
ADEF为矩形，
M，N
分别是EF，BC的中点，AB＝2AF,∠CBA＝60°.
①求证：DM⊥平面MNA；
②若三棱锥A－DMN的体积为33，求MN的长．
①【证明】连接AC，在菱形ABCD中，∠CBA＝60°，且AB＝BC，
IASK_高考数学总复****空间中平行与垂直
IASK_高考数学总复****空间中平行与垂直
7/17
IASK_高考数学总复****空间中平行与垂直
4
IASK_高考数学总复****空间中平行与垂直
IASK_高考数学总复****空间中平行与垂直
17/17
IASK_高考数学总复****空间中平行与垂直
∴△ABC为等边三角形，又∵N为BC的中点，
AN⊥BC，∵BC∥AD，
AN⊥AD，又∵平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD，AN?平面
ABCD，∴AN⊥平面ADEF，又DM?面ADEF，∴DM⊥AN.∵在矩形ADEF中，AD＝2AF，M为EF的中点，∴△AMF为等腰直角三角形，∴∠AMF＝45°，同理可证∠DME＝45°，∴∠DMA＝90°，∴DM⊥AM，
又∵AM∩AN＝A，且AM，AN?平面MNA，∴DM⊥平面MNA。
②设AF＝x，则AB＝2AF＝2x，在Rt△ABN中，AB＝2x,BN＝x,∠ABN＝60°，
AN＝3x，∴S△ADN＝12×2x×3x＝3x