IASK高考求函数值域及最值得方法及例题训练题.doc

IASK_高考求函数值域及最值得方法及例题,训练题
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函数专题之值域与最值问题
一．观察法
通过对函数定4。
∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。
点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求
出最值而获得函数的值域。
练****若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为（）
A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞]C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）
（答案：D）。
六．图象法
通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。
例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。
点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。解：原函数化为－2x+1(x≤1)
y=3(-1<x≤2)
2x-1(x>2)
它的图象如图所示。
显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。
点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象
求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。
求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值
域。
七．单调法
利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。
点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)=－√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，
在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。
解：设f(x)=4x,g(x)=－√1-3x,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而
y=f(x)+g(x)=4x－√1-3x
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在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为
y|y≤4/3｝。
点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合
函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
练****求函数y=3+√4-x的值域。(答案：｛y|y≥3｝)
八．换元法
以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出
值域。
例2求函数y=x-3+√2x+1的值域。
点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数
的值域。
解：设t=√2x+1（t≥0）,则
x=1/2(t2-1)。
于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.
所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。
点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定
出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。
练****求函数y=√x-1–x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝
九．构造法
根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。
例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。
点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22
作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位
正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,
KC=√(x+2)2+1。
由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共
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线时取等号。
∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。
点评：对于形如函数y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，
由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。
练****求函数y=√x2+9+√(5-x)2+