广州市执信中学2021届高三年级第五次月考（数学）.doc

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广州市执信中学2021届高三年级第五次月考
数 学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分为150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡小题，共70分。请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(本小题满分10分)
已知数列满足：
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和
18．（本小题满分12分）
在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
问题：的内角的对边分别为，若， ，求
和
注：若选择多个条件作答，按第一个解答计分.
19．(本小题满分12分)
如图，己知三棱柱，平面平面，，分别是的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
5
6
20．（本小题满分12分）
某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“3+1+2”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分，具体转换分数区间如下表：
等级
比例
15%
35%
35%
13%
2%
赋分区间
[86,100]
[71,85]
[56,70]
[41,55]
[30,40]
而等比例转换法是通过公式计算：，其中分别表示原始分区间的最低分和最高分，分别表示等级分区间的最低分和最高分，表示原始分，表示转换分，当原始分为时，等级分分别为
假设小南的化学考试成绩信息如下表：
考生科目
考试成绩
成绩等级
原始分区间
等级分区间
化学
75分
等级
[69,84]
[71,85]
设小南转换后的等级成绩为，根据公式得：，所以（四舍五入取整），小南最终化学成绩为77分.
己知某年级学生有100人选了化学，以某次期末考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得等级的学生原始成绩统计如下表：
成绩
95
93
91
90
88
87
85
人数
1
2
3
2
3
2
2
(1)从化学成绩获得等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；
(2)从化学成绩获得等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为，求的分布列和期望.
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21．(本小题满分12分)
如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于两点，且的周长为8．
(1)求椭圆的方程．
(2)设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点. 试探究：在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
22．(本小题满分12分)
已知函数
(1)当时，求零点的个数；
(2)当时，求极值点的个数.
数学参考答案
一、二、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
C
C
B
D
B
A
AB
BD
BCD
ACD
三、填空题
13．【答案】-1 14．【答案】
15．【答案】255 16．【答案】
四、解答题
17．【答案】(1)；(2)
【解析】(1)因为数列满足：，
所以，当时，. …………………………1分
当时，，…………………………2分
相减可得，…………………………4分
所以. ………………………2分
综上可得， ………………………5分
(2)因为，
……………………………7分
所以
…………………………8分
……………………………10分
8
18．【答案】条件性选择见解析，
【解析】(1)选择条件①，由及正弦定理知，
，整理得，；………………………………2分
由余弦定理可得，； …………………………4分
又因为，所以，. …………………………5分
又由得，；…………………………6分
由得，；…………………………7分
整理得，，…………………………10分
因为，所以，，………………………11分