“尚未成功”的突破.docx

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“尚未成功〞的突破
　　坦率说,在我个人的解题经历中,“尚未成功〞乃至失败,,“尚未成功〞并非只给笔者留下消极的结果,而面对偶尔的顺利笔者也总是要继续寻找当中的“解题愚蠢〞(见文[1]、[(k)M+a,
无法推出f(k+1)M.
据此,许多人建议,用加强命题的方法来处理,还有人得出这样的命题(见文[4][5]):
命题 设{f(n)}为关于n的正项递增数列,M为正常数,那么不等式f(n)M(n∈N)不能直接用数学归纳法证明.
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评析:不等式①没能用递推式②证出来,有两种可能,其一是数学归纳法的功力缺乏,“不会用〞当作“不能用〞,其损失是无法弥补的.
我们分析上述处理的“尚未成功〞,关键在于递推式②,这促使我们思考:f(k+1)与f(k)之间难道只有一种递推关系吗?
确实,有的函数式其f(k+1)与f(k)之间的关系很复杂,无法用数学归纳法来直接证明;而有的关系那么较简单,“很复杂〞还是“较简单〞,其表达式都未必惟一,文[6],说明上述“命题〞不真:
例2 用数学归纳法证明
f(n)=1+(1/2)+(1/22)+…+(1/2n-1)2.
讲解:当n=1时,命题显然成立.
现假设f(k)2,那么
f(k+1)=f(k)+(1/2k)2+(1/2k),
由于2+(1/2k)恒大于2,所以数学归纳法证题尚未成功.
然而,这仅是“方法使用不当〞.换一种递推方式,证明并不困难.
f(k+1)=1+(1/2)f(k)1+(1/2)×2=2.
下面一个反例直接取自文[4]的例2.
例3 求证(1/1!)+(1/2!)+(1/3!)+…+(1/n!)2.
证明:当n=1时,命题显然成立.
假设n=k时命题成立,那么
(1/1!)+(1/2!)+…+(1/k!)+[1/(k+1)!]
=1+(1/2)+(1/3)·(1/2!)+…+(1/k)·[1/(k-1)!]+[1/(k+1)]·(1/k!)1+(1/2){1+(1/2!)+…+[1/(k-1)!]+(1/k!)}1+(1/2)×2=2.
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这说明n=k+1时命题成立.
由数学归纳法知,不等式已获证.
—对尚未成功的环节继续反思
文[7]有很好的立意也有很好的标题,叫做“反思通解·引出简解·创造巧解〞,它赞成反思“失败〞并显示了下面一道二次函数题目的调控过程:
例4 二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),是否存在常数a、b、c使不等式
x≤f(x)≤(x2+1)/2
对一切实数x都成立?假设存在,求出a、b、c;假设不存在,说明理由.
讲解:作者从解两个二次不等式
(x2+1)/2-f(x)≥0,
f(x)-x≥0.
开始(解法1),经过数形结合的思考(解法2)等过程,最后“经学生相互讨论后得到巧解〞(解法4):由根本不等式
(x2+1)/2≥(x+1)/22≥x
对一切实数x都成立,猜测
f(x)=(x+1)/22.
经检验,f(x)满足条件f(-1)=0,所以f(x)存在,a=(1/4),b=(1/2),c=(1/4).