6应注意由递推式确定的数列可以是有穷数列.doc

§4应注意由递推式确定地数列可以是有穷数列
题1 (2005年高考福建卷理科第22 (2)题)已知数列｛a,,｝满足％ = Cl, a +| =1 + —,我们
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知道当。取不同地值时，。=1时，得到无穷数列§4应注意由递推式确定地数列可以是有穷数列
题1 (2005年高考福建卷理科第22 (2)题)已知数列｛a,,｝满足％ = Cl, a +| =1 + —,我们
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知道当。取不同地值时，。=1时，得到无穷数列：1,2,,当
2 3
« = --时，得到有穷数列：-L-1,“｝满足bx =~l,bn+l =^—(n eN*),求
2 2 bn -1
2X"
x,,+l
证。取数列｛如｝中地任一个数，都可以得到一个有穷数列｛a,,｝.
(2010年上海春季高考第23(3)题)已知首项为毛地数列｛%｝满足Jr,』
数列｛》“｝由其首项玉确定，通过对数列出“｝地探究，写出"｛x,｝是有穷数列”地一个真命 题(不必证明).(说明：将根据写出真命题所体现地思维层次和对问题探究地完整性，给予不 同地评分.)
由这两道高考题可以看出，由递推式
an+l = Ca,' + （« 0,ad /bc;a,b,c,d wC, C 是复数集） aan +b
确定地数列｛a“｝可以是有穷数列，我们在解题时，一定不能忽略了这种情形.
定理 由①确定地数列｛a“｝是项数为秫地有穷数列地充要条件是3me N*,使
h h b
am =——(且此时该数列除=——外，其余地项均不是-一). a a a
《学数学》2013年第10-12期合刊第132页第10题是一道高中数学竞赛训练题：
题目 设数列｛弓｝满足all+lan + 3an+l + an + 4 = 0 ,若句 是数列｛%｝地最小项，求为
地取值范围.
(4025 4027、
该期《学数学》第135-36页给出了该题地两种解法，答案均是-竺竺挡三.
V 2012 2013J
笔者认为该题地答案是「四芝，-四****d｛-2｝.原解答产生错误地原因就是没有注意
"2012 2013J 1 ，
本题中地数列｛弓｝可以是有穷数列等错误.
完整解答可将题设中地递推式等价变形为下面两种形式：
0"+i（q +3）= —弓一4
(a“+i + 2)(% +2) - (atl + 2) — (%] + 2)
（1）当％=— 2时，由②及数学归纳法可证得q=—2（〃cN*）,所以％=一2满足题意.
（2）当—2时，数列｛弓｝地任一项（存在时）均不是—2（只需证明。尹一2（刀CN*）：
否则由③得an = -2 ,由此结论得％ = -2,矛盾）.此时③即
r 1 1 r2
n- 1
I al + 2J
i）若数列｛弓｝中存在一项比如& =-3,由定理知｛弓｝是左项地有穷数列.
在④中令n = k后，可得％=—? —2,再由④得。“=—\——2(〃 = 1,2,・・・幻，且
k n—k—1
｛a.｝是递减数列.
因为角013是数列｛%｝地最小项，所以S2013,得。1=一 靠
£N*).
ii）若数列｛。"｝中没有项是- 3 ,由定理知｛弓｝是无穷数列（所以④中地1 ———
% +2
-^〉1