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7第七章非线性系统的分析
7第七章非线性系统的分析
三、非线性系统的特点
１、系统的稳定性
２、系统的自持振荡
３、频率响应畸变
非线性系统的稳定性不仅与系统的结构参数有关，而且与初始状态有关。
非线性系统即使无外界作用，也可能会发生某一固定振幅和频率的振荡，称为自持振荡。
非线性系统在输入为正弦函数时，输出为包含一定数量的高次谐波的非正弦周期函数。
对非线性系统分析研究的重点是：
（1）系统是否稳定；
（2）有无自持振荡；
（3）若存在自持振荡，确定自持振荡的频率和振幅；
（4）研究消除或减弱自持振荡的方法。
线性系统分析可用叠加原理，在典型输入信号下系统分析的结果也适用于其它情况。
非线性系统不能应用叠加原理，没有一种通用的方法来处理各种非线性问题。
7-2 相平面分析法
描述二阶系统的二阶微分方程可以用两个一阶微分方程描述：
相平面法是一种通过图解法求解二阶非线性系统的准确方法。
以x1为横轴，以x2为纵轴的二维状态平面称为相平面。
当 t 变化时，x1(t)对于x2(t)在相平面上形成的运动轨迹称为相平面轨迹，简称相轨迹。
相轨迹的斜率为不定值的点称为奇点。奇点也必然是平衡点。
一、线性二阶系统奇点的类型
线性二阶系统的齐次微分方程为：
相平面图是在 平面中，绘制 随时间t 变化的轨迹，称为相轨迹。相轨迹的起点是 。
奇点是指 的点。根据奇点附近相轨迹的特征，奇点
有不同名称，据此可判断系统运动的性质。
1、无阻尼运动
二阶系统的极点分布和相平面图如下：
无阻尼运动时，二阶系统的相平面图是一族同心椭圆，每个椭圆代表一个简谐运动。在相平面原点有一孤立奇点，称为中心点。
2、欠阻尼运动
系统的自由运动是衰减振荡。相轨迹是对数螺旋线，收敛于原点。奇点称为稳定焦点。
3、过阻尼运动
系统的自由运动是非周期地收敛。相轨迹是趋于原点的抛物线，原点是奇点，称为稳定节点。
4、
系统的自由运动是发散振荡。相轨迹是以原点出发的螺旋线，原点处的奇点称为不稳定焦点。
5、
系统的运动是非周期发散运动。相轨迹是由原点出发的发散型抛物线。原点处的奇点称为不稳定节点。
6、 为一正一负两实根
系统的自由运动是发散运动，原点处的奇点称为鞍点。
以上6种奇点，类似的奇点在非线性系统中也常见到。
二、非线性系统的相平面分析
借助Matlab等软件工具可以方便地绘制非线性系统的相平面图。
例1：有死区继电器非线性的系统框图如下
系统线性部分的传递函数 ，该二阶系统的无
阻尼自然振荡角频率 ，阻尼比 ，根据
前面对奇点的分类，可知为稳定焦点。
继电器的输入－输出关系为
在 平面，根据继电器的
非线性特性，可分为三个区域，

设初始状态 ， ，
绘制相轨迹如图所示，(设r=3)

根据系统的相轨迹，可对
系统的性能分析如下：
2、相轨迹最后没有到达原
点，即 ，说明
系统在阶跃信号输入下，存在稳态误差，引起稳态误差的原因是死区继电器特性。 系统线性部分的传递函数表明，系统是Ⅰ型系统，对阶跃响应的稳态误差应为0，可见死区继电器非线性对稳态精度的影响。
1、系统的相轨迹收敛于A点，是稳定的，奇点为稳定焦点。e是单调衰减的。
例2：非线性系统框图如下
其中继电器回环特性的参数M=，a=。
系统的线性部分是欠阻尼情况，奇点是稳定焦点。非线性环节的输入－输出关系为
y ＝
M
或
－M
或
根据上述关系，可将 平面分为二个区域。分别绘制初始状态分别为 和