高中数学竞赛专题讲座---不等式选讲.doc

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不等式选讲
例1 若为的三边，，求证：
证：令，则，
则所证不等式的左边
.
说明：换元法是常用的化简分母、去分母、去根号的一种方法。
例2 设，求证：
证：先证，实际上
. 由平均值不等式可知，上式显
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不等式选讲
例1 若为的三边，，求证：
证：令，则，
则所证不等式的左边
.
说明：换元法是常用的化简分母、去分母、去根号的一种方法。
例2 设，求证：
证：先证，实际上
. 由平均值不等式可知，上式显然成立，同理可知：
，,把以上三式相加，就可得所证不等式成立。
说明：对于形如的轮换不等式根据不等式的特征可构造出如下的不等式：或的一系列不等式，。其中的可以用待定系数法求出。
例3 已知，且，求证：
.
证：令，则变为
。要证的不等式变为
等价于要证 （*）
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注意到以为边长可以构成三角形，我们令 将其代入（*），则要证的不等式转化为：.由均值不等式，
得，， .上述三式相加就得证不等式。
说明：对于条件，常作代换，从而使非奇次不等式变为奇次不等式，另外，三角形三边常用的代换为。
例4 试确定的整数部分。
解：容易证明对于，有
先证明（）
由上式可知：，，
，
以上相加得，
进一步可得.
∴
.
另一方面：，
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原式
,
因此，其整数部分是198.
说明：此题也可以用一般的放缩法可求出其值在198到199之间。
例5 试确定所有的正常数，使不等式对满足
的非负数均成立。
解：正常数应满足的条件为，且。取及
，即可得，及。
下面证明：成立.
利用条件使不等式变为奇次化不等式
。为了方便，
令，，，只须证：
，。先证明：，计算可知
，
因此，得证。
再证明: 。由柯西不等式得：
，得证。
于是，，原不等式得证。因此，所求的全部解为：，且。
说明：对于含参的不等式，常用取特殊值（中值，边值等）确定参数的范围，再证明在这个范围内不等式成立。
例6 设，且，求证：
证：原不等式即为,显然等号成立时，，采用逐步调整法，不妨设，则令，有，于是
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.
再进行2次这样的变换，就得