高价导数的求导归纳与总结.docx

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高阶导数的求导法则
对高阶导数的求导问题是数学分析中的一个重点及难点，对其求导数具有运算量大、技: .
高阶导数的求导法则
对高阶导数的求导问题是数学分析中的一个重点及难点，对其求导数具有运算量大、技巧性强的特点，尤其值得归纳与研究，以便找到合适的求解方法，这样才能达到事半功倍，触类旁通的效果。下面就详细阐述几种求解高阶导数的常用方法，希望对大家有所帮助和启发。⑺1先拆项再求导法
这种方法适用于这样的一些函数，它们那些经拆项后，变成了易于求解高阶导数的一些基本形式之和，然后利用导数的四则运算中和的法则来分项求导。例如在求有理分式函数的高阶导数时，可先化为部分分式，然后求导。要想熟练的掌握这种方法，就要求我们记得一些基本函数的高阶导数的基本形式，例如下面这些基本形式(xk)(n)=k(k-1)(k一n1)xk』(n<k)；x、(n)x(e)=e；/x(n)xn(a)a(Ina)；(Inx)(n)=(-1)2)(n-1)!x』；(sinx)(n)
二sin
(cosx)(n)
(m=cosxI2
axb
=(-1)n
n!an
(axb)n1
(x)=x*1的n阶导数。
x_5x+6f(x)=
2x2
x22x-3
叫专3丿
+1lx—1丿
n!
n!
_(1)区+3严+""(x-订卡
(x)二sin4x—cos4x的n阶导数。解tf(x)=sin4x-cos4x=(sin2xcos2x)(sin2x-cos2x)
=-cos2x；f(n)(x)二—2ncos(2x^-).
2直接利用公式求高阶导
公式：设f(x)与g(x)都是n阶可导函数，贝尼们的积函数也n阶可导，且成立公式〔f(x)Lg(x)Cnf(nA)(x)g(k)(x)k=0这里CnM是组合系数。
k!(n-k)
在利用公式求解高阶导数时，要学会灵活地运用，其主要的思想就是将所要求导的函数，化成两个函数乘积的形式，然后利用公式。
=arcsinx满足微分方程(1-x2)y(n刃_(2n1)xy(n1)-n2y(n)=0.(n_3)并依此求y(n)(0)。
再两端求导，得
化简，可得
2(1一x2)y_xy'=0
对上式两端求n阶导数，利用公式，有(1—x2)y(n®+C：(—2x)yZ+C2(—2)y(n)—xy(n41)—C：y(n)_x2)y(n2)—(2n7)xy(n1)_n2y(n)=0
可见函数y=arcsinx满足所指的微分方程。
在上式中令x=0得递推公式y(n—n2y⑺，
注意到y(0)=1和y(0)=0，
所以，当n=2k为偶数时y⑴(0)=0；
当n=2k1时,
(Xk)"n'k(k-1)(k-n1)xk"(n空k);-l(2k-1)!l2；
综上，
(n)(0)_』y(0)2T(2k-1)!1
(n)
n=2k。n