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高等数学习题答案方明亮第一章.docx

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****题 1-1
1．求以下函数的自然定义域：
〔1〕；
解：依题意有，那么函数定义域．
〔2〕；
解：依题意有，那么函数定义域．
〔3〕；
解：依题意有，那么函数定义域．
〔4〕；
解：依题意有，那么 , 所以 .
6．对于数列，假设，，证明：．
证明: 由于, 所以, , , 当时，有, 同理,,, 当时, 有．取=max, , 当时, 成立, 故．1．当时，．问等于多少，使当时，？
解：令，那么，要使
，
只要，所以取，使当时，成立．
2．当时，．问等于多少，使当时，？
解：要使<, 只要, 即. 因此,只要就可以了,所以取．
3．根据函数极限的定义证明：
〔1〕；　　　　　〔2〕；
〔3〕；　　　　〔4〕.
证明:(1) 由于, 任给,要使,只要．因此取,那么当时, 总有,故．
(2) 由于,任给, 要使,只要,即或, 因为,所以, 取，那么当时, 对,总有,故有．
(3)由于,任给,,要使,只要,因此取,那么当时,总有,故.
(4) 由于,任给,要使,只要,即,因此取,那么当x>M时,总有,故.
4．用或语言，写出以下各函数极限的定义：
〔1〕；　　　　　〔2〕；
〔3〕；　　　　　〔4〕．
解: (1) , 当x<-M时, 总有;
(2) , 当, 总有;
(3) , 当时, 总有;
(4) 当时, 总有．
5．证明:.
证明: 由于, ,所以.
6．证明：假设及时，函数的极限都存在且都等于，那么．
证明: 由于,那么对,,当时,有．又,那么,当,,当时,总有,故有. 1．根据定义证明：
〔1〕为当时的无穷小；
〔2〕为当时的无穷小；
〔3〕为当时的无穷大．
证明:
(1) ,因为,取,那么当时, 总有,故
．
(2) ,因为,取, 那么当时, 总有
, 故.
(3) , ,当时,总有,所以
.
2．函数在内是否有界？该函数是否为时的无穷大？
解答: 取,那么,因此当时,故函数
当时,不是无穷大量．
下证该函数在内是无界的. , 且,
，取, ,有，所以是无界的.
3．证明：函数在区间上无界，但这函数不是时的无穷大．
证明: 令,类似第2题可得．1．求以下极限：
〔1〕；〔2〕；
〔3〕；〔4〕；
〔5〕；〔6〕；
〔7〕；〔8〕；
〔9〕；〔10〕；
〔11〕；〔12〕；
〔13〕；〔14〕；
〔15〕；〔16〕．
解:
(1) = ．
(2) =
= ．
(3) =．
(4) =．
(5) ==．
(6) =．
(7) =
==．
(8) =．
(9) ==．
(10) ==
=．
(11) =．
(12)
=
==．
(13) =．
(14) =．
(15) =．
2．设　问当为何值时，极限存在．
解：因为，所以，当，即时，存在．
3．求当时，函数的极限．
解：因为
所以不存在。
4．，其中为常数，求和的值．
解：因为
，所以，那么．
5．计算以下极限：
〔1〕；　　　　　　　　　　〔2〕;
〔3〕；　　　　　　　　　　〔4〕．
6．试问函数在处的左、右极限是否存在？当时，的极限是否存在？
解：，，因为，所以．计算以下极限：
〔1〕；　　〔2〕；
〔3〕；　　　　　　　〔4〕．
解：〔1〕．〔2〕．
〔3〕．
〔4〕
．
2．计算以下极限：
〔1〕；　　　　　　　　　(2) ；
〔3〕；〔4〕；
〔5〕；　　　　　　　　　〔6〕为不等于零的常数〕．
解：
．．
．
．．
3．利用极限存在准那么证明：
〔1〕数列，，，的极限存在；
证明：先用数学归纳法证明数列单调递增。由于。假设成立，那么，所以数列单调递增．
下证有界性
，假设，那么
，故，即数列有界
根据单调有界准那么知存在．不妨设，那么有，解得，〔舍去〕，即有．
〔2〕；
证明：因为，又，所以．
(3) ；
证明：因为，
又，所以原式成立．
(4) ．
　　证明：对任一，有，那么当时，有．于是
〔1〕当时，，由夹逼准那么得．
〔2〕当时，，同样有．当时，与相比，哪一个是高阶无穷小？
解：因为，所以是比高阶无

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