高等数学讲义一.docx

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高等数学基础
高等数学基础课程的学****内容微积分学，它是创建于十七世纪的一门数学学科，创始人是英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz）。用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析，是人类思维的
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⒍反三角函数
反正弦函数
反余弦函数
反正切函数
反正弦、反余弦、和反正切函数的图形分别是
二、函数的复合运算
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在介绍函数的复合运算之前，先介绍函数的四则运算：设，是两个函数，定义域分别为，，如果不是空集，那么在上可以得到以下函数


这里要注意，最后一个函数的定义域要在中去掉使的点。
除了函数的四则运算外，再看下面复杂一些的运算，如函数
可以看作由函数和构成的，这种构成方式就是一种新的运算。一般地，由两个函数和构成的对应规则称为和这两个函数的复合函数。
三、初等函数
由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算而成，能用一个解析式表示的函数称为初等函数。
函数
不是初等函数，这类函数称为分段函数。
第2讲 极限与连续
微积分的主要研究对象是函数，它所使用的一个重要工具就是我们要在下面介绍的——极限。极限的严格描述奠定了微积分的理论基础，而微积分学几乎所有的重要概念都以不同的极限形式来表示。
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函数的极限
一、极限的概念
首先让我们看看反正切函数的图形
当自变量向变化时，函数值在向靠近。而且向充分接近时，函数值可以和任意靠近。我们将向充分接近说成趋于，记为。一般地，当自变量趋于时，如果函数的函数值和某个常数任意靠近，我们就称函数当趋于时以为极限（或称当趋于时，的极限是）。记为
或
如我们在开始看到的情形就是
类似可以得到，仍以反正切函数为例，有
再一次观察反正切函数的图形，当自变量向点变化时，函数值在向靠近。而且向点充分接近时，函数值可以和任意靠近。我们将向点充分接近说成趋于，记为。一般地，当自变量
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趋于时，如果函数的函数值和某个常数任意靠近，我们就称函数当趋于时以为极限（或称当趋于时，的极限是）。记为
或
这样我们就得到
极限的直观意义可以用下面的图形说明
函数在一点的极限可能存在，也可能不存在，如函数当时的极限就不存在，我们也可以从图形中看出
再看下面这个图形
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可以看出，这个函数当时没有极限，但当从大于的方向趋于时，函数值与任意接近。一般地，当自变量从大于的方向趋于时，如果函数的函数值和某个常数任意靠近，就称为在点的右极限，记为
类似可以给出在点的左极限，记为。如此一来我们就有了以下结论
存在的充分必要条件是和都存在，且
二、极限的运算法则
为了方便地计算函数的极限，我们不加证明地给出极限的运算法则：
若，存在，则有
为常数
（假定）
例1 求。
解 观察发现本题不能直接应用极限的四则运算法则，但对表达式经适当整理后就可以应用极限的四则运算法则，
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例2 求。
解 观察发现本题不能直接应用极限的四则运算法则，但对表达式经适当整理后就可以应用极限的四则运算法则，

只有极限的四则运算法则对解决的计算还是不够的，接下来我们大家介绍两个重要的极限。
两个重要极限
我们先给出两个重要的极限公式
之所以说这是两个重要极限，一方面因为它们出自于两个极限存在定理，另外在后面求基本初等函数的导数时需要用到。
在这里我们只给出第一个极限的证明，为此先不加证明地给出一个极限存在定理
夹逼定理 设在的某领域内（可不包含点）有
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且，则存在且
下面就来证明第一个重要极限，先看一下下面这张图
图中的圆周是单位圆周，圆心角的弧度是，则有
线段的长度为
弧的长度为
线段的长度为
当时，有
从而有
从而有
当时，，由夹逼定理得
由于都是奇函数，因此当时，有
即
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从而有
从而有
当时，，由夹逼定理得
最后得到
例3 求。
解 本题不能直接应用第一个重要极限公式，需要作适当变换。注意到趋于0时，也趋于