(完整版)导数压轴题分类(2).docx

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2a2
x+x
12
+x+x—a>0—++x—a)>0
12x+xa212
12
*2,则f'(x)>0；此时，函数f(x)在(°，亍)上单调递减；在(|,+8)上单调递增.
⑵由x,x(0<x<x)是方程f(x)二c的两个不等实根可知：
1212x2一(a一2)x一alnx=c
111x2一(a一2)x一alnx=c
222
两式作差可得(x-x)(x+x)-(a-2)(x-x)-a(lnx-lnx)=012121212

厶
x-x
21
lnx-lnx2a
1—
=a2
x-x
2
x+x
21
a2(x-x)
-[(lnx—lnx)—2i]
x-x21x+x
2121
ax
-[ln2
x
1
x-x
21
2(—1)
2+1
x
1
lnx-lnx
故x+x=a-2+a・2+21
x+x
12
由f'(x)=2x-(a-2)-—可得f'(寿Z)=x+x-(a-2)-2a212
2(t-1)>1,因此由g(t)=Int-
xt+11
则由g(t)=-(?+1)2t(t+1)2
="">0可知g(t)在(1,+s)上递增.
x+x
故g(t)>g⑴=0，从而可知f'(巧2)>0.
4•设函数f(x)二2lnx+mx-x2有两个零点珥，x2W<x2)，且x0是％x2的等差中项，求
证:八x0)<0.
证明：由珥,x2(珥<叮是函数f(x)二2lnx+mx-x2的两个零点可知
2lnx1+mx1-x12=0，
2lnx+mx-x2=0，
222
两式作差可得
2(lnx-lnx)+m(x-x)-(x-x)(x+x)=0.
1212
lnx-lnx
31
故x+x=m+22
12x-x
21
2
由f'(x)=+m-2x，及x=
x0
x+x
巧2可得
x+x44
f'(x)二f'(T-2)二+m—(x+x)=—2-
02x+x12x+x
1221
lnx-lnx
21
2
x-x
21
2(Z-1)一丄•[(lnx-lnx)-2(x2-x1)]一丄•[InZ-.
x一x21x+xx一xxx」
2121211―2十1x
1x2(t—1)
由0<x<x可知t=2>1,因此由g(t)二lnt-12xt+1
114(t-1)2
则由g'(t)=厂冇=閒>0可知g(t)在(1弋)上递增.
故g(t)>g⑴=0,从而可知f'(x0)<0•5.(2016年高考数学全国I理科第21题)已知函数f(x)二(x-2)ex十a(x-1)2有两个零点.
(I) 求a的取值范围；
(II) 设x,x是f(x)的两个零点，证明：x十x<2.
1212解：(I)函数f(x)的定义域为R,当a二0时，f(x)二(x—2)ex二0，得x二2，只有一个零点，不合题意；
当a丰0时，f'(x)=(x一1)[ex十2a]
当a>0时，由f'(x)=0得，x二1，由f'(x)>0得，x>1，由f'(x)<0得，x<1,故，x=1是f(x)的极小