(完整版)循环群讲义.docx

7 循环群
本节将讨论一类结构简单又富有代表性的特殊群 循环群•(它是一类基本而又重要的群，数学的一些 分支(数论、有限域论等)和它有密切的联系.)通过对循环群的学****可初步了解抽象代数研究问题的基本 方法和格式以及论文的写作方法•本节主) = (ar) n a = (ar)k n ark-1 = e°n I rk 一 1 n (r,n) = 1 •】
◎设P为素数，则P阶循环群G = (a)有p -1个生成元：a,a2,…,ap-1.
◎设P为素数，则模P剩余类加群Z的所有非零元都是生成元
二、 循环群的种类
1•结构定理设循环群G = (a)同构于J(Z,+),f O(a) = 3 •
[(Z ,+), if o(a) = n
n
证明注意体会生成元a的阶在证明过程中的用处！
⑴设o(a) = 3【作用：ak = e o k = 0】此时，令9 : G T Z, ak T k，可证p是同构映射•(证略)
【9是映射：若ak = ah，则ak-h = e°(n3k - h = 0 n k = h，.
再证9的同态性：
Vx, y e G n x = ak, y = ah n 9(xy) = 9(ak+h) = k + h = 9(ak) + 9(ah) =9 (x) + 9 (y) •】
⑵设o(a) = n【作用：a = e o n I k】此时，令9 : G t Z , ak T [k]
()二 n _
9 是映射：若 ak = ah ，则 ak-h = e n n I k - h n [k] = [h]，说明对应元唯一•
o (a)——n
9是单射：若[k ] = [h],则 n I k 一 h n k 一 h = mn n ak-h = (an)m = em = e.
9 是满射：V[k] e Z , 3ak e G, (ak) = [k]
n
再证9的同态性:
Vx, y e G n x = ak, y = ah n 9(xy) = 9(ak+h)9[k] + [h] = 9(ak) +9(ah) = 9(x) +9(y) •
例1：循环群G = (a)的阶为n O生成元a的阶为n.【常用结论】
(a) = n，则(a)二Z n = |Z | = n .反之，设\G\ = n，若o(a)丰n，则
n n
① o(a) = g，则(a)二 Z n |G| = Z = g 矛盾；② o(a) = k 丰 n，则(a)兰 Z n G| = |Z | = k 主 n 也矛盾.
k k
循环群的结构定理说明了什么？
【凡是无限循环群都彼此同构；有限循环群中，同阶则同构、不同阶则不同构.】 例2: n次单位根群U = 1 e C 1 x» = 1^与 Z同构.
nn
证法1 利用结构定理.
4 皿i 2k兀..2k兀
xn = 1 o x = e n = cos +1 sm
k n n
(k = °」，…，n
-1)
2 k兀 2兀 2兀 2 口 2兀
e n ' = (e n ') k n U = (e n ')是循环群，且生成元e n i的阶为n，所以U = (e n ')三Z .
n n n
2