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正弦、余弦定理在三角形中的应用
【学****目标】
，并能综合运用两个定理解决三角形的有关问题；
，提高综合运用知识的能力和解题的优化意识. 【要点梳理】
要点一：正弦2ac
若b 二 -1,则cosB= a2 + c2 -b2 = "+*2，所以B=15。，C=120。.
解法三：正余弦定理
a2 = b2 + c2 - 2bccos A = b2 + 6 - 2 J3b = 4,解得b£3 土 1
若 b =、；'3 +1,贝U 由一-—= —= C ，得 sin B= "+ * 2 ,sin C=空, sin A sin B sinC 4 2
•.•b>c>a,所以 B>C>A，所以 B=75。, C=60°；
若b二运-1,贝I」由—= 二丄，得sinB「'fn C二週,
sin A sin B sinC 4 2
•.•c>a>b，所以 C>A>B，所以 B=15° , C=120°.
【总结升华】
解三角形时 对于求解三角形的题目 同时要注意对解 的讨论.
解三角形时 要留意三角形内角和为 180°、同一个三角形中大边对大角等性质的应用。 举一反三：
【变式1】在AABC中，若a = 2, b = 2^2 , c = €6 - J2 ,求角A和sinC .
【答案】根据余弦定理：cos A =
b2 + c2 一 a2
2bc
8 + 8 - 4羽-4
2 x 2 迈 x (厉-、② _~2
0。< A < 180。,
・•・ A = 30o, sin C 二泄二压 Tsin30。二庞-冋。
a 2 4
【变式2】（2015天津高考）在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知AABC的面
1
则a的值为.
积为 3\：'15 , b — c — 2,cos A ———,
4
答案】
因为0 < A <兀，所以 sin A — \.'1 — cos2 A ———
4
又SAABC - 2 bc sin A — F bc — 3五：bc — 24，解方程组hl ［得b — S' — 4，由余弦定理得
(1A
a2 — b2 + c2 - 2bccos A — 62 + 42 - 2x 6x4 x —— —64，所以a — 8 I 4丿 •
例2. △ABC的内角A, B, C所对应的边分别为a, b, c.
(I)若 a, b, c 成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin(A+C)；
(口)若a, b, c成等比数列，求cosB的最小值.
【思路点拨】(1)因为a, b, c成等差数列，所以a+c=2b,利用正弦定理用角表示边。(2)因为a, b, c 成等比数列，所以ac=b2，利用余弦定理用边表示角，然后利用基本不等式求解。
1
【答案】(I)见解析；(□)-
厶
【解析】(I)T a, b, c成等差数列，
二 2b=a+c,
利用正弦定理化简得：2sinB = sinA+sinC,
v sinB = sin[ n~ (A+C)] = sin(A+C),
二 sinA+sinC = 2sinB = 2sin(A+C)；
(□)v a, b, c成等比数列，
二 b2=ac,
a2 + c2 - b2 a2 + c2 - ac 2ac - ac 1
• cosB = = > =—,
2ac 2ac 2ac 2
当且仅当a=c时等号成立，
cosB的最小值为丄.
2
【总结升华】 对于三角形中边角的最大值或最小值问题可以运用正弦定理或余弦定理建立所求变量与三角形的角 或边之间的函数关系，利用正、余弦函数的有界性、二次函数或基本不等式的知识解决问题。
举一反三：
【变式】在 AABC 中，三内角满足的方程(sinB - sin A)x2 + (sin A 一 sinC)x + (sin C 一 sinB) = 0
有两个相等的根。
兀
求证：角B不大于一
3
当角B取最大值时，判断AABC的形状
答案】
1 )由韦达定理得
sin C - sin B
sin B - sin A
=1,即 2sin B = sin A + sin C ,
由正弦定理，有 2b=a+c
由余弦定理得cosB=
a2 + c2 - b2
a2 + C2 - (a 9)2
2
3(a2 + c2) -2ac >
2ac
2ac
8ac
6ac - 2ac _ 1
8ac 2
・•・0<B<-
3
血
(2)当角B取最大值时，B =—，