2021年全国大学高等数学试题及解析.docx

2021年全国大学高等数学考试
、填空题（本题共6小题，每小题4分，）
—1-
⑴lim(cosx)ln(l+x2)=.
xt0
曲面z二x2+y2与平面2x+4y-z=0平行的切平面的方程是.
学期望；
从乙箱中任取一件产品是次品的概率.
十二、(本题满分7分)
设总体X服从正态分布N(卩Q2)9>0)，从该总体中抽取简单随机样本X,X，…,
12
X(n>2)，其样本均值为X=艺X，求统计量Y=工(X+X一2X)2的数学
i=1
i=1
2n2niin+i
期望E(Y).
2021年全国大学高等数学试题及解析
一、填空题(本题共6小题，每小题4分，)
1-
1)
lim(cosx)ln(l+x2
xtO
【分析】10型未定式，化为指数函数或利用公式limf(x)g(x)(“)=elim(f(x)-1)g(x)进行
计算求极限均可.
11
limlncosx
详解1】lim(cosx)ln(1+x2)=extOln(1+x2)
xtO
-sinx
lncosxlncosx
lim=lim=lim
xtOln(1+x2)xtOx2xtO
cosx
2x
1
2'
丄
故原式=e-2
详解2】因为
lim(cosx-1)
xtO
1
ln(1+x2)
1
——x2
=lim—2——
xtOx2
丄1
所以原式=幺—2=.
e
(2)曲面z二x2+y2与平面2x+4y—z=0平行的切平面的方程是2x+4y—z=5.
【分析】待求平面的法矢量为n={2,4,—1}，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程，而切点坐标可根据曲面z二x2+y2切平面的法矢量与n={2,4,-1}平行确定.
【详解】令F(x,y,z)二z-x2-y2,贝y
F=—2x,F'=-2y,F'二1.
xyz
设切点坐标为(x,y,z)，贝切平面的法矢量为{—2x,—2y,1}，其与已知平面
00000
2x+4y—z=0平行，因此有
—2x—2y1
0=o=
24—1
可解得x=1,y=2，相应地有z=x2+y2=5.
00000
故所求的切平面方程为
2(x一1)+4(y一2)-(z一5)=0，即2x+4y一z=5
(3)设x2仝acosnx(一兀<x<兀)，则a=1
n2
n=0
【分析】将f(x)=x2(-k＜x＜兀)展开为余弦级数x2仝acosnx(-兀＜x＜兀)，n
n=0
其系数计算公式为a=—Pf(x)cosnxdx.
n0
详解】
根据余弦级数的定义，有
2(*if
a=JKx2-cos2xdx=JKx2dsin2x
2兀0兀0
计算.
评注】
(4)【分析】
=-[x2sin2x
兀
兀—卜sin2x-2xdx]
00
1f1
=71xdcos2x=[xcos2x
0
=1.
兀—卜cos2xdx]
00
本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的
矩阵A的元素没有给出，因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞•应
当考虑用定义法.
因为
(A-E)(A+2E)-2E二A2+A-4E二0,
(A-E)(A+2E)=2E，即(A-E)-A+2E=E
2
按定义知
(A-E)-1=2(A+2E).
2
(5)【分析】
根据切比雪夫不等式
P{X-E(X)|>E}<D(x),£2
于是P{X-E(X)>2}<D2^二1
二、选择题
于是P{X-E(X)>2}<D2^二1
⑴【分析】当x<0时，f(x)单调增nf'(x)>0,(A),(C)不对；
当x>0时，f(x):增——减——增nf'(x):正——负——正，(B)不对，(D)对.
应选(D).
(2)【分析】我们逐一分析.
关于(A),(x，y)在(o,o)存在两个偏导数nf(x，y)在
(0,0)处可微•因此(A)不一定成立.
-、df(0,0)df(0,0)
关于(B)只能假设f(x,y)在(o,o)存在偏导数，，不保证曲面
dxoy
z=f(x,y)在
(0,0,f(0,0))存在切平面•若存在时,法向量n=土:型型，理°!，—11=±{3,1,-1}与〔OxOyJ
{3,1,1}不共线，因而(B)不成立.
x=t,
关于(C),该曲线的参数方程为{y=0,它在点(0,0,f(0,0))处的切向量为
、z=f(t,0),
d
{t',0,-f(t,0)}l={1,0,f'(0,0)}={1,0,3}