中国科学技术大学2012年线性代数与解析几何考研试题及解答.pdf

微信公众号 中国科学技术大学 2012 年线性代数与解析几何考研试题参考解答 小花爱数学
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10. 教材上的定理, 请翻书查阅.
11. (1) ∀α ∈ Imf(A ), ∃β ∈ V, 使得 α = Imf(A )β, 于是 g(A )α = 0, 故 α ∈ ker g(A ), 因此
Imf(A ) ⊂ ker g(A ). 由于 f(λ), g(λ) 在 F 上互素, 因此存在 u(λ), v(λ) ∈ F [λ], 使得
u(λ)f(λ) + v(λ)g(λ) = 1. ∀γ ∈ ker g(A ), γ = f(A )u(A )γ ∈ Imf(A ), 因此 ker g(A ) ⊂
Imf(A ). 综上得结论.
(2) V = ker φA (A ) = ker f(A ) ⊕ ker g(A ) = Img(A ) ⊕ Imf(A ).
12****题集上基本上都有收录的题, 详细过程可以翻书查阅. 实对称矩阵一定可以正交相似对角化,
然后可以直接看出充分性, 证明必要性的时候利用反证法, 如果二次型是不定的, 则可以举例说
明解集对加法不封闭.
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13. (1) 按定义去验证正定性, 对称性, 线性性.
(2) ( ) ( ) ( ) ( )
1 0 0 −1 0 1 −1 −1
A = , A = ,
0 0 1 0 0 0 0 1
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 1 0 0 0 0 1
A = , A = .
1 0 1 −1