几何体中的截面问题.docx

几何体中的截面问题
几何体中的截面问题
几何体中的截面问题
几何体中的的截面问题
1．定义及有关因素
用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面．此平面与几
何体表面的交集 ， ,则因此截面 S为四边形，且 S为梯形 .因此为真 .
对② , ，截面 S为四边形截面 S为等腰梯形 . 因此为真 .
对③ , 因此为真 .
几何体中的截面问题
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几何体中的截面问题
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几何体中的截面问题
对④ , .截面 S与线段订交，因此四边形 S为五边形 .因此为假 .
对⑤ ,.对角线长度分别为 因此为真 .
9．如图，为正方体。任作平面与对角线
垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样获得
的截面多边形的面积为 S，周长为 .则（ ）
A ． S 为定值，不为定值 B． S 不为定值，为定值
C． S 与均为定值 D． S 与均不为定值
9答案:B
分析 :将正方体切去两个正三棱锥与后， 获得一个以平行平面与为上、 下底面的几何体 V ，V
的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形 W 的每一条边分别与 V 的底面上的一条边平
行，将 V 的侧面沿棱剪开，展平在一张平面上，获得一个平行四边形，而多边形 W 的周界
睁开后便成为一条与平行的线段（如图中） ，明显，故为定值。
当位于中点时，多边形 W为正六边形，而当移至处时， W为正三角形，易知周长为定值的正六边形与正三角形面积分别为与，故 S 不为定值。
题型三、截面图形的计数
10．设四棱锥 的底面不是平行四边形 , 用平面去截此四棱锥 , 使得截面四边形是平行四边
形 , 则这样的平面 ( )
A. 不存在 B. 只有 1 个 C. 恰有 4 个 D. 有无数多个
10 答案： D
分析：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m， n，直线 m、 n 确立了平面 β，作与 β平
行的平面 α与四棱锥侧棱相截，则截得的四边形是平行四边形．这样的平面 α有无数多个．
11．过正四周体的极点做一个形状为等腰三角形的截面， 且使截面与底面成角， 问这样的截
面可作几个？
11 答案： 6 个．
分析： 能够证明的棱、侧面与底面成角均小于 75 度，这样过极点与底面成 75 度角，且平行
与底面一条边的 截面也就是切合题意的截面，有两个。三条边就是 6 个。
题型四、截面图形的性质
12．如图 4，在透明的塑料制成的长方体 ABCD-A1B1D1 容器内灌进一些水， 固定容器底面一边 BC 于地面上，再将容器倾斜，跟着倾斜程度的不一样，有以下四个命题：
① 水的部分一直呈棱柱状；
② 水面 EFGH 的面积不改变；
③ 棱 A1D1 一直与水面 EFGH 平行；
④ 当容器倾斜到如图 4（ 2）时， BE·BF 是定值；
几何体中的截面问题
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几何体中的截面