高中数学全国希望杯竞赛模拟试题(七).docx

题 61
设直线 m, n 都是平面直角坐标系中椭圆
x2
y2
7
+
=1的切线，且 m n ， m 、 n 交
3
线，且 m n ， m 、 n 交于点 P，则点 P
a2
b 2
的轨迹方程是 x 2
y2
a 2
b2 ．
y
kx l
证明
设 y
kx
l 为椭圆的切线 , 由
x2
y2
,
a2
b2
1
1
k 2
x
2
2lk
x
l 2
0 ， 得
l
2
b
2
2
k
2
得
a
2
b
2
b
2
b
210，由
x
a
， 所 以
m : y
① ,
b
2
2
2
b 2
a2 k 2 ，所以两垂直切线为，
kx
a k
l
n : y
② , x
b2
a
2
k
k 2
另 有 四 对 ： m : x
a, n : y
b ,
① 式 变 为 ( y
kx )2
b 2
a 2 k 2
③，②式变为
(x
ky) 2
a 2
b2 k 2 ④．③ +④得 x2
y 2
a2
b2 ．特殊四对垂线的交点坐标也都适合⑤，
故 P 点的轨迹方程为
x2
y 2
a2
b2 ．
若将定理
1 中的椭圆改为双曲线，
是否也有相类似的什么结论呢？为了证明定理
2，先引
进两个引理．
引理 1
若双曲线 x2
y2
1 的切线的斜率
k 存在，则 | k |
b ．
a2
b2
a
证明 对于 x2
y2
1 两边取 x 的导数知
y' (x)
b2 x ,
双
a2
b2
a 2 y
曲 线 上 任 意 一 点 P （ x0 , y0 ） ( y0
0) 处 切 线 的 斜 率 k 有
2
x0 |
|k
|=|
y ' ( x0 )
|=
b 2 |
①
，
又
a
y0
| y0
| | y1
b
x0
|
a
b
．
|| x0 |, |
y0
，代入①得 |
k |
a
b
a

P1(x0,y1) P(x0,y0)
x
O
引理 2 如果双曲线 x
2
y2
1有 a b，则不存在垂直