3[1]1微分中值定理及其应用共7页文档.docx

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教学目的：
1. 掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用: .

教学目的：
1. 掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础；
2. 熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限；
3. 掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题；
4. 使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象；
5. 会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。
教学重点、难点：
本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。
教学时数：2学时
一、微分中值定理：
1. Rolle中值定理：设函数」在区间'上连续,在|内可导,且有
:「二1-.则(a,b)，使得f()0.
2. Lagrange中值定理：设函数「在区间上连续,在宀内可导,(a’b)，使得f()
推论1函数在区间I上可导且/'--，-'为I上的常值函
推论2函数和_」在区间I上可导且/V）■g'Wr=>/W■gW+S丘I.
>CJ上连续,在丄Li,内可导.
若存在,则右导数也存在，且有=」」-「.，.「|（证）
但是，丿II不存在时，，但「:可导（可用定义求得.：■<：-：■）.
Th（导数极限定理）设函数」」在点工：的某邻域」.•'「内连续,’…存在,贝/广仁「；也存在,且：（证）由该定理可见，若函数F/,在区间I上可导，则区间I上的每一点，要么是导函数./的连续点，，当函数D一在区间I上点点可导时，导函数在区间I上不可能有第二类间断点.
推论4（导函数的介值性）若函数在闭区间」.一上可导，且
■'：：■.'1::-一’•；（证）
Th（Darboux）设函数j*在区间-宀-「二为介于与「匕之间的任一实数,则甘二—■
.设'-对辅助函数■--,应用系4的结果.〔（证）Cauchy中值定理：
Th3设函数’和g在闭区间卜】|上连续,在开区间内可导,丿'和「在「…二内不同时为零,又_>则在「，内至少存在一点..
证分析引出辅助函数’....—―—_...验证，’；；在|上满足Rolle定理的条件，：•八■■■,-
必有y,因为否则就有'.这与条件“丿和丁在「内不同时为零”矛盾.=
Cauchy中值定理的几何意义.
（二）中值定理的简单应用：
1. Rolle中值定理的应用
例1设函数「在区间上连续，在、'「内可导，且有「八」；.试证明：:.：•【-：；.:.
提示：设F（x）f（x）ex
例2设函数（x）,（x）在区间「"一上连续,在…「内可导，且
（为）（X2）Ojk（a,b）.试证明：（洛