往届竞赛题研讨 全国周培源大学生力学竞赛第六届试题 (2007年) 全国周培源大学生力学竞赛第七届试题 (2009年) 第一页,共45页。 从2007年起竞赛风格与往届相比有重大变化 个人赛: 考察学生面对复杂问题时能否,然后小心地把贴有纸片的O1 球静止放在板上(接触点为B点),同时让纸片远离接触位置,松手后水晶球O1竟然真的可以一直稳稳地停留在板上B点。 在观众的掌声中,魔术师撤走了O1 球,把O2 球拿了起来。“这个水晶球不太听话, 我的魔力只能管1分钟” 魔 术师说完把O2 球转了转, 然后更加小心地把O2 球也 放在板上(接触点为B点)。 观众发现,O2球在B点停留 了大约1分钟,然后在没有外界干扰的情况下突然从板上B端掉了下来…… 第十七页,共45页。 2007年试题四:技高一筹的魔术师(25分) ⑴根据题目叙述,试判断哪个水晶球涂了新型材料? ⑵水晶球O1 可在 B点一直稳稳地停留,简要叙述其原理,分析其中所涉及的关键参数,以及各参数应满足的必要条件或关系。 ⑶水晶球O2 只能在 B点停留很短的时间,简要叙述其原理,分析其中所涉及的 关键参数,以及各参数应 满足的必要条件或关系。 第十八页,共45页。 ⑴ 根据题目叙述,试判断哪个水晶球涂了新型材料? ⑵ 水晶球O1可在B点一直 稳稳地停留,简要叙述其原理, 分析其中所涉及的关键参数, 以及各参数应满足的必要条件 或关系。 水晶球O2 涂了新型材料 光滑,先落下。 在板自重、球重力作用下,板发生弯曲变形。 小量 l A B q P 第十九页,共45页。 qB O B P P0 E W 只要 (自锁条件) 即 水晶球O1就静止于板上的B点 qB 是小量 小纸片贴在球的其他位置时 小纸片贴在球的最左侧 只要小纸片与水晶球的重心落在过B点的铅垂线上, 水晶球O1就能静止于板上的B点。 第二十页,共45页。 取大于号时,小纸 片与球心的连线非水平,但重心都要落在过B点的铅垂线上。 要使小纸片与水晶球的重心落在过B点的铅垂线上,必须 qB O B P P0 E W 小纸片贴在球的其他位置时 设小纸片离O点的水平距离为 减小 P0 增大 = r 时, P0 = P0min 取等号时,小纸片与球心的连线水平; 第二十一页,共45页。 ⑶ 水晶球O2 只能在 B点停留很短的时间,简要叙述其原理,分析其中所涉及的关键参数,以及 各参数应满足的必要条件或关系。 没贴纸片的水晶球O2 是动平衡问题 球在板上打滑,在一段时间内球心速度为零,从而实现动平衡。 qB O B P FN F x y a w j 在一段时间后,球心速度不为零,球从板上掉下。 补充 第二十二页,共45页。 解出 常 常 积分 水晶球O2可以停留在板上 当 时 第二十三页,共45页。 但是,随着时间t 增大,角速度w 减小。 水晶球O2 会从板上掉下 当w = 0 即角速度w 改变转向时,摩擦力F 也改变方向。 当t =1 min =60 s 时,w = 0。 qB O B P FN F x y a w j 第二十四页,共45页。 第二十八页,共45页。 2009年试题一:小球在高脚玻璃杯中的运动(20分) 一半球形高脚玻璃杯,半径r=5 cm,其质量m1= kg, 杯底座半径R=5 cm,厚度不计,杯脚高度h=10 cm。如果有 一个质量m2= kg 的光滑小球自杯子的边缘由静止释放后 沿杯的内侧滑下,小球的半径忽 略不计。已知杯子底座与水平面 之间的静摩擦因数 fs=。试分 析小球在运动过程中:①高脚玻 璃杯会不会滑动;②高脚玻璃杯 会不会侧倾(即一侧翘起)。 第二十九页,共45页。 O j ①分析杯子滑动情况 假设杯子不滑动 小球 小球在杯子未运 动前不脱离杯子 动能定理 F1 m2 g v 牛顿第二定理 方程⑴、⑵ ⑴ ⑵ 第三十页,共45页。 ①分析杯子滑动情况 杯子 O j F1 ' m1 g FN F x 最大静滑动摩擦力 因 杯子不滑动 所以假设成立 第三十一页,共45页。 ②分析杯子侧倾(一侧翘起)情况 当杯子处于侧倾的临界平衡状态时 x = 0