全国大学生数学建模竞赛赛题基本解法.pptx

全国大学生数学建模竞赛赛题基本解法
第一页，共24页。
一、历年全国竞赛常用根本解法
1993——2005年
93A非线性交调的频率设计 拟合、规划
93B足球队排名 图论、层次分析、整数规划
94A逢山开路 处理的方法获得〕，04A〔数据库数据，数据库方法，统计软件包〕。计算机模拟和以算法形式给出最终结果。
解法的多样性，一道赛题可用多种解法。开放性还表现在对模型假设和对数据处理上。
第六页，共24页。
飞行管理问题
1问题
在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有假设干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进展飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的其它飞机发生相撞。如果发生相撞，那么应计算如何调整各架〔包括新进入的〕飞机的飞行方向角，以防止碰撞。
第七页，共24页。
现假设条件如下：
1).不相撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里；
2).飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度；
3).所有飞机的飞行速度均为每小时800公里；
4).进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里以上；
5).最多需考虑6架飞机；
6).不必考虑飞机离开此区域后的情况。
第八页，共24页。
请你对这个防止碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进展计算〔〕，要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。
设该区域4个顶点的坐标为〔0，0〕，〔160，0〕，〔160，160〕，〔0，160〕。记录数据为：(注：方向角指飞行方向与x轴正向的夹角。)
第九页，共24页。
t表示表示时间；
xi ,yi分别表示第架飞机的横纵坐标〔问题中已给出〕；
θi表示第架飞机的飞行方向角〔问题中已给出〕；
dij(t)表示时刻第i架飞机与第j架飞机间的距离；
表示飞机的飞行高度〔 〕。
第十页，共24页。
此问题很容易想到以飞机调整的飞行角度平方和作为目标函数，而以每两架飞机之间的最小距离不超过8km，各飞机飞行角度调整的值不超过30°为约束条件。如此得出的是一个非线性模型，在计算上可能会复杂些，但一目了然。
第十一页，共24页。
4、模型的建立
由题意可知，目标函数是
约束条件为
dij(t)=?
第十二页，共24页。
其中
如何求Dij?
如果求出t, 那么Dij可求出。
如何求t？
第十三页，共24页。
对上式求极值，即有
其中
第十四页，共24页。
于是本问题的一个数学模型为
是不是就可以求解了？
第十五页，共24页。
引入记号：
〔g是由 按 构成的向量，在下面的程序中计算〕，那么模型变为
其中，
第十六页，共24页。
5、模型的求解
调用Matlab命令fmincon求解，：
function f=airfun(delta)
f=delta*delta';
第十七页，共24页。
第十八页，共24页。
在Matlab命令窗口计算如下：
>> deltaini=zeros(1,6);
>> vlb=-pi*ones(1,6)/6;vub=pi*ones(1,6)/6;
>> options=optimset('LargeScale','off');
>>[dt,fval]=fmincon(***@airfun,deltaini,[],[],[],[],vlb,vub,***@airfunco,options);
>> d1=dt*180/pi,fval=d1*d1'
d1 =
fval =
第十九页，共24页。
介绍
一般来说数学建模常用的软件有四种，分别是：matlab、lingo、Mathematica和SAS，它们都可以从网上下载。
〔Matrix Laboratory〕之意。除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处 理，可视化建模仿真和实时控制等功能。 . 除内部函数外,所有MATLAB主包文件和各种工具包都是可读可修改的文件,用户通过对源程序的修改 或参加自己编