AHP层次分析法简介.docx

第一单元层次分析法—AHP简介
(The Analgtic Hierarachy Process AHP)
最优化技术在决策分析中占着极重要的位置，数学模型在最优化技术中占着统治地 位；由于系统越来复杂，数学模型也越来越复杂，掌握运用困根九 不再是n因扰动很小，希望九 与n相差不大，
max max
这时九 对应的特征向量虽然不会是n个物体的真实重量g = (g g ... g )t，但是，变 动也不会太大。 '2' ，n
我们设想：如果扰动不大，则九 离n就不远，此时九 对应的特征向量g，与g差 不多，如果g，不改变g的各分量的大小次序，则g，同样给出n个物体u ,u ,…，u按重
1 2 n
量大小的真实排序。
这样，对不满足一致性的正互反矩阵a = (a )，我们求其最大特征根九，再求
ij n x n max
与九 对应的特征向量g，则可按g对n个物体u ,u ,…，u按重量大小排序。
max 1 2 n
但是，这一番理论有几个疑点：①当A不满足一致性时，A还有没有最大正的特征 根；②既使A有最大特征根，那么，这个最大特征根九 对应的特征向量的分量能否全 是正数？矩阵代数中Perro一Frobineus理论明确地回答了这个问题。
Perro-Frobineus 定理：
1. 正矩阵存在重数为 1 的正特征根，其它特征根的模均小于这个正特征根，该正特 征根对应的特征向量可以全部由正分量组成，经“归一化”处理后该特征向量是惟一的。
Perron定理明确告诉我们，对正的互反矩阵A，既使它不满足一致性，也一定存在 最大正的实特征根，它对应的特征向量的各个分量都可以是正数，并且“归一化”后是 惟一的。
但是，我们能否按这个“归一化”后是惟一的特征向量对n个物体按重量大小排序 呢？或说这个“归一化”后的特征向量是否会改变扰动前的一致性矩阵A的最大特征根 九=n对应的特征向量的各分量间大小的排序呢？
max
人们难于正面明确地回答这个问题，而只能给出一个并不是十分令人满意的简接回 答。那就是对判断矩阵A = (a )的一致性满意程度进行检验。
ij
由于对A的扰动不大，最大特征根与n不会相差太大。可以证明：只要A不满足一 致性，那么A的最大特征根九 一定比n大，即九_ n >0。
max max
令
小 九 _ n
C. I. = ~max
n _1
显然，；但是，，才能使九 与n对应的特征向 max
量“归一化”后各分量大小次序不被破坏呢？这仍是一个非常非常困难的问题，可以说， 人们难以正面回答这个问题。
.。重复1000次，对随机判断矩阵A的最大特征
根进行计算后求取算术平均值得到如下平均随机一致性检验指标如下：
阶数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
.
0
0













令
.
C. I.
.
. < ，认为判断矩阵A的一致性是可以被接受的。. < ，认
为判断矩阵A =(-)的一致性是可以被接受的。即认为此时的A的九 对应的特征向量
ij max
“归一化”后，能给出n个物体u ,U , ,u按重量大小的真实排序。
1 2 n
明显看出这不是正面回答，也有些令人难以置信。但是，这已是目前为止最好的回 答，这也是 AHP 理论上不够严谨的地方。不过，从应用角度看，当 .< 时，排序 的正确性已为应用例子所证实。当 .> 时， AHP 不再适用，这时，只能变更递阶 层次结构，或对判断矩阵 A 重新赋值。
由此得层次分析法 AHP 的步骤如下。
给定A，求九及相应特征向量；
max
将特征向量“归一”后，即得排序向量；
进行一致性检验。若检验通过则排序向量可信；否则重新对 A 赋值。
2 AHP 的基本步骤
用 AHP 解决问题，有四个步骤：
建立问题的递阶层次结构；
构造两两比较判断矩阵；
由判断矩阵计算被比较元素相对权重；
计算各层元素组合权重，并进行一致性检验。
下面通过一个决策方法应用实例，说明 AHP 的每个步骤的实施。
例：某闹市区一商场附近交通拥挤。目标G：改善该街区交通环境。有三种方案可 供选择： A ：修天桥或修高架桥； A ：修地道； A ：商场搬迁。
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