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例说借助导数证明函数不等式人教版.docx


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例说借助导数证明函数不等式
用导数证明不等式是一种重要方法,其主要思想是构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式;而如何构造辅助函数是用导数方法证明不
等式的关键,下面举例说
2
2

在区间 (0, 1 ) 是减函数,
2
在区间 ( 1 ,1) 是增函数 .
2
点评: . 若 f(x) , g(x) 差函数为非单调其差有极大值或极小值,用导函数求其极大值、极小值,从而证明不等式。
二、根据题目自身特点构造函数
1、变形(代换、比商等)后再作差构造函数
例 3, 若 x
( 0,
), 求证
x
1 < ln x 1 1
1
x
x
证明:令 1+ 1
t, x
0, t
1, x
1 .
x
t -1
则原不等式
1- 1
lnt
t -1,令 f(t) = t-1- lnt , f‘ (t) >1- 1
t
t
t (1,
),
f ' (t )
0,
f (t )在 t
(1,
)上为增函数。
f (t )
f (1)
0,
t
1
ln t.
令 g(t )
ln t 1
1, g ' (t )
1
1
t 1 ,
t
t
t 2
t 2
t
(1,
),
g
'
(
t
)
0,
g
( )在
t
(1,
)上为增函数。
t
g(t )
g(1)
0,
ln t
1
1 ,
t
1
x 1
1
x 1
ln
.
x
x
1
点评: (1)
代换作用:此题设代换
x
t 1,0
x
值代换为可取到的
t=1, 把原来要
研究函数在 x

实际上就是把原来取不到的 x=0
处的值,等价为研究函数在 t=1 处的值;
1
则 ln(1
1
1
1
x
1
(2) 若令 t
x
)
即为例 (21)之特例,想一想
ln
如何证?
x
x
x 1
x
2、用分离变量的思想构造函数
例 4.若
e,证明

证明:原题等价于
ln
ln
,设 f ( x)
ln x ,
x
当 x
e时, f ' ( x)
1 ln x
0, 当 x
e时, f (x)单调递减,
x 2

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  • 时间2022-05-20