判定矩形的两种方法.docx

判断矩形的两种方法
判断矩形的两种方法
判断矩形的两种方法
判断矩形的两种方法
陈德前
一、 逐层判断法
就是在判断一个四边形为矩形时， 可分层进行， 先判断这个四边形是平行四边形， 再判
判断矩形的两种方法
判断矩形的两种方法
判断矩形的两种方法
判断矩形的两种方法
陈德前
一、 逐层判断法
就是在判断一个四边形为矩形时， 可分层进行， 先判断这个四边形是平行四边形， 再判
定这个平行四边形是矩形． 由平行四边形判断矩形的方法有两个： （ 1）有一个内角是直角的
平行四边形是矩形； （ 2）对角线相等的平行四边形是矩形 .
例 1 如图 1，在△ ABC 中，点 O 是 AC 边上的一个动点，过点 O 作直
线 MN ∥ BC，设 MN 交∠ BCA 的均分线于点 E，交∠ D CA 的均分线于点 F ．
1）求证： EO=FO；
（ 2）当点 O 运动到哪处时，四边形
AECF 是矩形？并证明你的结论．
剖析：（ 1）证明 EO CO 和 CO
FO ；（ 2）假定四边形 AECF 是矩形，
可逆推得点 O 运动到 AC 的中点．要证明四边形
AECF 是矩形，由 CE 均分
图 1
∠BCA ， CF 均分∠ DCA，可知 ECF
90 ；依据逐层判断法，可考虑先证
明四边形 AECF 是平行四边形，这可由对角线相互均分获得．
解：（ 1）因为 CE均分 ACB ，因此∠ ACE= ∠ BCE ．又因为 MN ∥ BC，因此∠ BCE=
∠OEC ，因此∠ OCE= ∠ OEC ，因此 EO CO ． 同理 FO CO ，因此
EO
FO ．
（ 2）当点 O运动到 AC的中点时，四边形 AECF 是矩形．原因：因为
EO
FO ，点 O是 AC
的中点，因此 AO=CO ，因此四边形 AECF 是平行四边形．因为∠
ACE= ∠ BCE ，∠ ACF=
∠DCF ，因此∠ ACE+ ∠ACF= 1 ×180° =90°，即 ECF 90
，因此平行四边形 AECF 是
2
矩形．
二、一次判断法
就是从随意四边形出发，证明其有三个角是直角，从而直接说明该四边形是矩形．
例 2 已知：如图 2，直线 AB ∥CD ，EF 和 AB ，CD 分别订交于 M ，N 两点，射线 MP 、 MQ ， NP， NQ 分别是∠ AMN ，∠ BMN ，∠ MNC ，∠ MND 的均分线， MP 和 NP
订交于 P，MQ 和 NQ 订交于 Q，求证：四边形 MPNQ 是矩形．
剖析：由题意简单证出∠ PMQ=90 °，∠ PNQ=90 °，此刻要证明四边形 MPNQ 是矩形，由一次判断法，只需再证明一个角是直角即可．
证明： 因为 MP 均分∠ AM