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第三节函数的定义域和值域

(1)函数的定义域是
.
指使函数有意义的自变量的取值
范围
(2)求定义域的步骤是:
①写出使函数式有意义的不等式(组);
②解不等式(组);
③写出函数定义域.(注意用区间或集合的形式写出)
(3)常见基本初等函数的定义域.
①分式函数中分母不等于零.
②偶次根式函数被开方式大于或等于0.
③一次函数、二次函数的定义域均为R.
④y=ax,y=sin x,y=cos x,定义域均为R.
⑤y=tan x的定义域为.
⑥函数f(x)=x0的定义域为.
{x|x≠0}
(1)求函数定义域之前,尽量不要对函数的解析式变形,以免引起定义域的变化.
(2)抽象函数定义域,即“给定定义域”.
求抽象函数的定义域有以下三种情形:
①已知f(x)的定义域,求f[φ(x)]的定义域,其实质是由φ(x)的取值范围,求出x的取值范围;②已知f[φ(x)]的定义域,求f(x)的定义域,其实质是由x的取值范围,求φ(x)的取值范围;③已知f[φ(x)]的定义域,求f[h(x)]的定义域,先由x的取值范围,求出φ(x)的取值范围,即f(x)中的x的取值范围,再由此确定h(x)的取值范围,进而根据h(x)的取值范围求出x的取值范围.
(3)由实际问题求定义域,即“实定定义域”.
使实际问题有意义即可,,常见的情况有线段长度应大于0,时间单位取正整数等.

(1)在函数y= f(x)中,与自变量x的值相对应的y值叫做, 叫做函数的值域.
(2)基本初等函数的值域
①y=kx+b(k≠0)的值域是.
②y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是:
当a>0时,值域为;
当a<0时,值域为。
函数值
函数值的集合
R
③y= (k≠0)的值域是.
④y=ax(a>0且a≠1)的值域是.
⑤y=logax(a>0且a≠1)的值域是R.
⑥y=sin x,y=cos x的值域是.
⑦y=tan x的值域是.
{y|y≠0}
{y|y>0}
{y|-1≤y≤1}
R
(1)求函数值域(或最值)的常用方法.
常用方法主要有:利用基本初等函数的图象及性质、单调性、不等式法、导数法、数形结合法、换元法、判别式法、,除去导数法之外,其余的方法都有局限性,但一定要掌握各种方法的适用范围.
(2)求函数值域的一般步骤.
求函数定义域→化简(或转化)函数式→观察函数式的结构特征→,尤其是函数关系式复杂、陌生的情况下往往先通过换元等手段转化为熟悉的函数式.
=x2-2x的定义域是{0,1,2},则该函数的值域为( )
A.{-1,0} B.{0,1,2}
C.{y|-1≤y≤0} D.{y|0≤y≤2}
【解析】代入求解.
【答案】 A