弹性力学基本理论.ppt

弹性力学根本理论
第一章 绪 论
第一节 弹性力学方法概述
一、研究内容
研究弹性体在受到外力作用、边界约
束或是由于温度变化等原因而产生的
应力、应变和位移。主要通过以下几
个方面进展研究：
1、静力平有很薄的等厚薄板，只在板边
上受有平行于板面且不沿厚度变
化的面力或约束，同时体力也平行于板面且不沿厚度变化，如下图。
特点：
a) 长、宽尺寸远大于厚度的等厚薄板；
b) 由于沿板面受有平行板面的面力、体力、约束，且不沿厚度变化，在平板的前后外表上无外力作用，因此 为x、y的函数。
注意：平面应力问题z =0，但 ,这与平面应变问题相反。
，
如：弧形闸门闸墩、深梁
弧形闸门闸墩 深梁
因外表无任何面力，
平面应力
A
B
例题1：试分析AB薄层中的应力状态。
故接***面应力问题。
故外表上，有：
在近外表很薄一层内：
二、平面问题根本方程
1、几何方程：表示任一点的微分线段上形变与位移之间的关系。
变形前位置：
变形后位置： －－各点的位置如图。
通过点P(x,y)作两正坐标向的微分线段
定义
应用根本假定：⑴连续性；⑵小变形。
PA 线应变
PB 线应变
⑴ 适用于区域内任何点，因为A〔x,y〕；
对几何方程的说明：
所以平面问题的几何方程为：
⑶ 适用条件：a、连续性；b、小变形。
⑵ 应用小变形假定，略去了高阶小量----线性的几何方程；
⑷ 几何方程是变形后物体连续性条件的反映和必然结果。
⑸ 形变和位移之间的关系：
位移确定——形变完全确定；
从物理概念看，各点的位置确定，那么微分线段上的形变确定 。
从数学推导看，位移函数确定，那么其导数〔形变〕确定 。
说明
形变确定，位移不完全确定；从物理概念看， 、 确定，物体还可作刚体位移。从数学推导看， 、 确定，求位移是积分运算，出现待定函数。
形变与位移的关系
由 ,两边对y积分，
由 ,两边对x积分，
例：假设 ,求位移：
形变与位移的关系
代入第三式
分开变量，
因为几何方程第三式对任意的〔x，y〕均应满足。当x〔y〕变化时，式(b)的左，右均应=常数 ，由此解出 。可得
物理意义：
－－表示物体绕原点的刚体转动。
－－表示x，y向的刚体平移，
结论
形变确定，那么与形变有关的位移可以确定，而与形变无关的刚体位移
那么未定。－－须通过边界上的约束条件来确定 。
物理方程－－表示〔微分体上〕应力和形变
之间的物理关系。
定义
即为广义胡克定律：
2、物理方程
物理方程的说明：
说明
⑷ 正应力只与线应变有关；切应力只与切
应变有关。
⑶ 是线性的代数方程；
⑵ 是总结实验规律得出的；
⑴ 适用条件─理想弹性体；
物理方程的两种形式：
－－应变用应力表示，用于
按应力求解；
－－应力用应变〔再用位移表示〕
表示，用于按位移求解。
说明
平面应力问题的物理方程：
代入 ，得：
在z方向
平面应力
上两式相加，得
同理
用矩阵表示为：
平面应变问题的物理方程
平面应变
在z方向，
上面两式相加可得：
同理
平面应力物理方程→平面应变物理方程：
变换关系：
平面应变物理方程→平面应力物理方程：
3、平衡微分方程——表示物体内任一点的微分体的平衡条件。
应用的根本假定：
连续性假定─应力用连续函数来表示。
小变形假定─用变形前的尺寸代替变
形后的尺寸。
列出平衡条件：
合力 = 应力×面积，体力×体积；
以正向物理量来表示。
平面问题中可列出3个平衡条件。
平衡条件
那么平面问题的平衡微分方程表示为
即：
即：
⑵ 适用的条件--连续性，小变形；
说明
对平衡微分方程的说明：
⑴ 代表A中所有点的平衡条件，
因位〔 ，〕∈A；
⑶ 应力不能直接求出；
⑷ 对两类平面问题的方程一样。
理论力学考虑整体 的平衡〔只决定整
体的运动状态〕。
说明
⑸比较:
材料力学考虑有限体 的平衡〔近似〕。
弹性力学考虑微分体 的平衡〔准确〕。
当 均平衡时，保证 ， 平衡；
反之那么不然。
说明
所以弹力的平衡条件是严格的