专题04 函数的奇偶性的判断及其应用.docx

专题04 函数的奇偶性的判断及其应用
【高考地位】
函数的奇偶性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明函数的奇偶性，利用函数的奇偶性解决实际问题．
类型一 函数奇偶性的判断
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内 容
，的解析式.
【答案】，.
【解析】第一步，首先设出所求区间的自变量：
用代换解析式中的，所以，
第二步，运用已知条件将其转化为已知区间满足的的取值范围：
因为函数是奇函数，是偶函数，所以，
第三步，利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式：
联立，解之得，.
【点评】这里运用了构造法，把符合要求的奇函数与偶函数构造出来，问题也就解决了，构造的关键是运用奇、偶函数的概念，并联系方程组的知识.
【变式演练4】已知函数fx是定义在R上的奇函数,当x>0时, fx=log2x+1
（1）求函数fx的解析式;
（2）若fm<−2,求实数m的取值范围.
【答案】（1）fx=log2x+1,x〉00,x=0−log21−x,x〈0（2）m<−3
【解析】（1）∵x>0时, fx=log2x+1),∴当x<0时，−x>0,
∴f−x=log2−x+1),∵函数fx是定义在R上的奇函数,∴f−x=−fx∴−fx=log2−x+1即fx=−log2−x+1,又f0=0,
∴fx=log2x+1,x〉00,x=0−log21−x,x〈0，
（2）∵x>0时：fx=log2x+1>0,f0=0,
∴fm<−2⇔−log1−m<−2,∴log21−m>2,
∴1−m>4,∴m<−3.
【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，奇函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
【变式演练5】设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为__________.
【来源】上海市控江中学2021届高三三模数学试题
【答案】
【分析】
先求出函数是定义在上的解析式，再分别讨论与在大于0和小于0时列出不等式，最后求并集.
【详解】
由于函数是定义在上的奇函数，且当时，，
当时，，，此时，. 又，
综上所述，.
①当时，由，得，解得，此时，；
②当时，即当时，
由得，整理得，解得，此时；
③当由得，解得，此时.
综上所述，不等式的解集为 .
故答案为：.
【点睛】
关键点睛：解决本题类型的问题关键在于由已知奇函数部分解析式求定义域上奇函数解析式，并分段讨论求不等式解集.
【高考再现】
1．（2021·全国高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【解析】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
2．（2021·全国高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【解析】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
3．（2021·全国高考真题）已知函数是偶函数，则______.
【答案】1
【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.
【解析】因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
4.【2020年高考江苏卷7】已知是奇函数，当时，，则的值是．
【答案】
【解析】是奇函数，当时，，则．
【专家解读】本题考查了函数的奇偶性，考查数学运算学科素养．解题关键是正确应用函数的奇偶性．
5.【2020年高考山东卷8】若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路导引】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果．
【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，