数学之旅小论文.docx

数学之旅小论文
数学之旅结课论文
题目：从希尔伯特旅馆问题到集合论
课 程：《数学之旅》
姓 名：车颖斌
学 号：S**********
教 师：王维克

数学之旅小论文
数学之旅结课论文
题目：从希尔伯特旅馆问题到集合论
课 程：《数学之旅》
姓 名：车颖斌
学 号：S**********
教 师：王维克

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从上可以看出无穷是一个新的世界。那么，无穷之间是否能够比较呢？按照上面希尔伯特旅馆的穿插安排，似乎多个无穷的并还是无穷，难道无穷之间都是能相互对应的吗？
非零正偶数(2,4,6…)和自然数(1,2,3…)：
直观上感觉非零正偶数属于自然数的一部分，如果考量集合的大小用基数的 概念表示， 那么直观上显然非零正偶数的基数小于自然数的基数。但是，如 果按照下列对应方式， 非零正偶数和自然数可以使用k=2i(i=1,2,3…)一一对 应，1对应2,2对应4,3对应6，这样 两个无穷集合能够相互对应。这样 是不是说明两个无穷集合的基数相同呢？
直线上的点集合和平面上点的集合[2]
直观上直线上的点个数比平面上的点少，而且似乎少不少。但是通过一系列的等价性证明，就能说明直线上的点比平面上的点多。函数fx=tan(x-12*π)，能够将(0,1)区间的点和实数一一对应起来，所以只需要说明(0,1)区间中的点和长宽皆为1的正方形中的点一样多即可。可知正方形中的点能够用(x,y)的形式表示：
x=…an…
y=…bn…
将这样的(x,y)映射到(0,1)区间中的z=…anbn…，这样就能说明任意正方形中的一点都能在(0,1)区间中对应一点，而且互不相同。
由于在无穷的世界中，想要用一个明确的数描述一个无穷集合的基数似乎不太可能，那么用什么来描述一个无穷集合的大小比较合适呢？还是说无穷集合没有可比性？
阿列夫数用于衡量集合的大小，这一概念由康托尔提出。康托尔认为无穷集合虽然不能用一个明确的数来描述他的大小，但是无穷集合是有不同的势的，并且将无穷的势和阿列夫数相对应。比如自然数集合对应的阿列夫数为ℵ0，下一个较大的势为自然数的幂集ℵ1，依次类推。而且明确说明只要两个集合能够相互包含，则说明这两个无穷集合的势相同。
？[3]
ℵ0和ℵ1之间是否还有其他的势？这个问题被康托尔否认，他猜测可列集基数和实数基数之间没有其他的基数，这是康托尔给出的连续统假设。并且这个假设被希尔伯特列为20世纪亟待解决的23个数学难题之首。
此后哥德尔证明标准集合论与不存在中介的超限数是一致的。但是，科恩证明，如果假设中介数是存在的，这也不和集合论相矛盾。所以，集合论又分为康托尔型和非康托尔型的，非康托尔型的集合论是假设有无限个中介数。类似的情况出现在几何学中，发现平行线假设不能被证明后，几何学又分为了欧氏几何和非欧几何。

是否存在包含所有集合