函数的奇偶性与周期性.ppt

函数的奇偶性与周期性
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(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)=(    ).
A.-1　    　    C.-2　    
偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=(　    ).
答案: B
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∴f(x)=
∴f(x-2)=
由f(x-2)>0得: 或
解得x>4或x<0,故选B.
解析:当x<0时,-x >0,∴f(-x)=(-x)3-8=-x3-8,
又f(x)是偶函数,
∴f(x)=f(-x)=-x3-8.
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【例3-2】 设a,b∈R,且a≠2,若定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=lg 是奇函数,则a+b的取值范围为　　　　    .
答案:
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由 >0,得- <x< ,
又f(x)定义区间为(-b,b),
∴0<b≤ ,-2<a+b≤- .
解析:∵f(x)在(-b,b)上是奇函数,
∴f(-x)=lg  =-f(x)=-lg  =lg  ,
∴ = 对x∈(-b,b)成立,可得a=-2(a=2舍去).
∴f(x)=lg  ,
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【例3-3】 设函数f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),已知g(x)=f(x)-f'(x)是奇函数.
(1)求b,c的值;
(2)求g(x)的单调区间与极值.
解:(1)∵f(x)=x3+bx2+cx,∴f'(x)=3x2+2bx+c,
∴g(x)=f(x)-f'(x)
=x3+(b-3)x2+(c-2b)x+c,
∵g(x)是一个奇函数,
∴g(0)=0,得c=0,
由奇函数定义f(-x)=-f(x)得b=3.
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(2)由(1)知g(x)=x3-6x,
从而g'(x)=3x2-6,
由此可知,(-∞,- )和( ,+∞)是函数g(x)的单调递增区间;(- , )
是函数g(x)的单调递减区间.
g(x)在x=- 时,取得极大值,极大值为4 ;
g(x)在x= 时,取得极小值,极小值为-4 .
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抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程,从而可得f(x)的解析式.
系数法:利用f(x)±f(-x)=0产生关于字母的恒等式,由系数的对等性可得知字母的值.
单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.
请做[针对训练]3
方法提炼函数奇偶性的应用:
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考点探究突破
◎拓展升华思维的加油站◎
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四、函数的周期性及其应用
【例4】 已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,f(-1)=1,
则f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=　　　　    .
解析:由已知得f(0)=0,f(1)=-1,
又f(x)关于x=1对称,
∴f(x)=f(2-x)且T=4,
∴f(2)=f(0)=0,f(3)=f(3-4)=f(-1)=1,
f(2 008)=f(0)=0,f(2 009)=f(1)=-1,
f(2 010)=f(2)=0,f(2 011)=f(3)=1.
f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0.
答案:0
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方法提炼关于函数周期性常用的结论:
(1)定义在R上的函数f(x),①若有两条对称轴x=a,x=b,则f(x)是周期函数且2|a-b|是它的一个周期;②若有两个对称中心(a,0),(b,0),则f(x)是周期函数且2|a-b|是它的一个周期;③若有一个对称中心(a,0)和一条对称轴x=b,则f(x)是周期函数且4|a-b|是它的一个周期.
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(x+a)= 或f(x+a)=- (a是常数且a≠0),则f(x)是以2a为一个周
期的周期函数.
(3)如果T是函数y=f(x)的周期,则①kT(k∈Z且k≠0)也是y=f(x)的周期,即f(x+kT)=f(x);②若已知区间[m,n](m<n)的图象,则可画出区间[m+kT,n+kT](k∈Z且k≠0)上的图象.
(2)若对于函数f(x)