第讲二次函数图象和性质知识点总结.docx

第5讲
次函数的图象和性质
一、知识点回顾
：
一般式：y二ax2+bx+c（a、b、c为常数，aHO）
顶点式：y二a（x—h）2+k（a、h、k为常数，aHO），其中（1,k）为顶点：利用二次函数的零点式方程
由f(2)=—1，f(一1)=—1可知f(x)=—1的两根为2和一1，故可设F(x)=f(x)+1=a(x—2)(x+1)。又由f(x)的最大值是8可知F(x)的最大值是9,从而解得a=—4或0(舍)。
所以f(x)=—4x2+4x+7。
说明：求函数解析式一般采用待定系数法，即先按照需要设出函数方程，然后再代入求待定系数。
考点二二次函数的图像变换
例2.(2008年浙江卷)已知t为常数，函数y=在区间［0,3］上的最大值
为2，贝0t=。
解答：作出=的图像，I、若所有点都在x轴上方，则y=f(3)=2
max
可解得t=1；II、若图像有部分在x轴下方，把x轴下方的部分对称地翻折到x轴上方即可得到尹二-2x~t的图像，则y=f(1)或y=f(3),解得t=—3或t=1,
'maxmax
经检验，t=1。综上所述，t=1。考点三二次函数的图像的应用
(x)=4x2—mx+5在区间［—2,+呵上是增函数，则f(1)的范围是()
(1)±(1)=(1)W25D.
f(1)>25
解答：函数f(x)=4x2—mx+5在区间［—2,+^)上是增函数，则区间［—2,+g)必在对称轴的右侧，从而，故f(1)=9—m±25。选A。
8
说明：解决此类问题结合函数图像显得直观。
考点四二次函数的性质的应用
（对二/+花+£的定义域是［n,n+1］（n是自然数），试判断了㈡的值域中
共有多少个整数？分析：可以先求出值域，再研究其中可能有多少个整数。
r111
解答：的对称轴为，因为n是自然数，故，所以函
数在［n，n+1］上是增函数。故故知：值域中共有2n+2个整数。
说明：本题利用了函数的单调性，很快求出了函数的值域，这是求函数值域的一个重要方法。
考点五二次函数的最值
=z3+（a-l>+2在区间［1，3］上的最值。
1—rjf
22厂11—说,1_a
e［1，2］，e（2，3］，>3。
22
解答：函数的对称轴x=~y-
1—也1-a
<1,V
当<1即a>-1时：函数在［1，3］
2
;
e［1，2］即
2
d了十7』何阴=/ra=3^+S；
1—Q>/E
e(2，3］即
2
ji>)嘶*(1)乂十2；
II、当
III、当
上是增函
-5<^<-3
分析:本题需就对称轴与区间的相对位置关系进行分类讨论：
IV、
上为减函
当>3即a<-5时：函数在［1,3］
2
W二子⑴二+二炖二W综上所述：当幺〉T时，；当
时，缸=/（耳）=一»十「"丿何叱二二弘+呂；当—5<a<-3时，
/（对皿込二了（¥）二“"/（心二于⑴二直十2;当让-5时，
。
考点六方程的根或函数零点的分布问题
，另一个根比1小，试求金的取值范围。
解答：设/（兀）=/+（/—1）工+&—2，贝廿/（1）疋0二/+厲一2c0=>—，关于的方程
（I）有两个正实根；
(II)有一个正实根，一个负实根。
解答：(I)设，由方程有两个正实根，结合图像可知:
(II)设，结合图像可知：
说明：一元二次方程的根或二次函数零点的分布问题的处理主要思路是结合函数图像，考虑三个内容：根或零点所在区间端点的函数的正负、判别式及对称轴的位置。考点七三个“二次”的关系
+洽乂>0的解集为“卩<^<2j，试解关于的一元二次不等式用+渝+盘>0。
解答：
法一：由题意可知，区cO，—元二次不等式/+加+亡丸对应的一元二次方程
..h,7
ai?+c=0的两个根是1和2，故；又
aa即关于龙的一元二次不等式用+肚+妙沁的解集为*法二：
以^二丄代入圧-\-bx-\-a>+^£-1-^>0=>1<£<2=>y<r<l，即关于疋的一元
、「1〕
二次不等式川十处十血>0的解集为X\—<Xo
考点八二次函数的应用
例9.(2003北京春招)某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元。未租出的车每辆每月需维护费50元。
当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司