高等代数考研真题.doc

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08
07化二次型为标准型,并给出所用的非退化线性替换.
求三阶矩阵的设矛盾,故假设错误, 原命题成立. ■
8. 证 对于任意的及任意的,有，于是有
,,于是
,故.■
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06一，用正交线性替换将实三元二次型变成标准形，并写出所用的非退化线性变换。
二、设。A是否相似于一个对角阵？如果相似，则求出可逆矩阵C，使得为对角阵，且写出此对角阵。
三、设是一个整系数多项式，证明：如果是一个奇数，则不能被x-1整除，也不能被x+1整除。
四、设A是一个矩阵，证明：如果A的秩等于的秩，则齐次线性方程组AX=0与齐次线性方程组X=0同解。
设V是有理数域Q上的线性空间，id是V的恒等变换。又设是V的一个线性变换，证明：如果，则没有特征值。
设 A是实对称矩阵，b是A的最大的特征值。证明：对任意n维非零的实列向量，都有。
设V=是F上全体次数<5的多项式及零多项式构成的线性空间。
，定义映射，其中，=0或
证明映射是V的一个线性变换。
求在基{1，x, ,,}下的矩阵。
8．设A,B都是矩阵，并且AB=BA。证明：如果A,B都相似于对角矩阵，则A+B也相似于对角矩阵。
051、（20分）设A,B均为n阶方阵,A中的所有元素均为1,B中的除元素为1外,,B是否等价?是否合同?是否相似?为什么?
2、（20分）设A=。v是的A最大的特征值。求A的属于v的特征子空间的基。
3、（20分）设f（x）是一个整系数多项式。证明：如果存在一个偶数m和一个奇数n使得f（m）和f（n）都是奇数，则f（x）没有整数根。
4、（20分）设A是一个2n×2n的矩阵。证明：如果对于任意的2n×2矩阵B，矩阵方程AX=B都有解，则A是可逆的。
5、（20分）证明实系数线性方程组AX=B有解的充要条件是用它的常数项依次构成的列向量B与它所对应的齐次线性方程组AX=0的解空间正交。
6、（20分）设A，B是n×n实对称矩阵，且A+B=E,E为单位矩阵。证明下列结论等价：
（1）AB=O,O为零矩阵（2）秩(A)+秩(B)=n
7、（20分）设V是复数域上的n维线性空间，q，p是V上的两个可对角化的线性变换，且qp=pq。证明：
（1）如果k是q的特征值，那么V（k）是的不变子空间。（2）存在一组基使得q、p在这组基下的矩阵都是对角矩阵。
8、（10分）设A，B，C分别是m×m,n×n,m×n矩阵（m>n）,且AC=CB,C的秩为r.
证明: A和B至少有r个相同的特征值。注意：7题中V(k)在原题中k为V的下标。
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03７．设是一个数域，是上维的线性空间，是的一个线性变换，记
．证明：，则是的核与的直和．
８．设是上的连续函数．称在上线性相关，若存在不全为零的常数，使得．证明：在上线性相关的充要条件是其中是的行列式．
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021．（15分）设，都是矩阵。解矩阵方程。
2．（20分）设，是否相似于对角矩阵？如果相似于对角矩阵，求可逆矩阵，使得是一个对角矩阵。
3．（10分）设都是非负整数。设。证明：整除。
4．（10分）设，都是矩阵，是矩阵，并且的秩是。证明：如果，则。
5．（10分）设是矩阵，并且是可逆的。证明：如果与的所有的元素都是整数，则的行列式是或。
6．（10分）设是反对称矩阵，证明：是半正定的。
7．（15分）设是矩阵。如果，并且的秩是，是否相似于一个对角矩阵？如果是，求这个对角矩阵。
8．（10分）设是有理数域上的线性空间，的维数是，与是的线性变换。其中可对角化，并且。证明：存在正整数