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微积分的基本公式
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三、牛顿莱布尼茨公式
若F(x)是连续函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数, 则
定理3(牛顿莱布尼茨公
微积分的基本公式
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三、牛顿莱布尼茨公式
若F(x)是连续函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数, 则
定理3(牛顿莱布尼茨公式)
证明
因为F(x)和(x)都是f(x)的原函数 所以存在常数C 使
F(x)(x)C.
由F(a)(a)C及(a)0,
得CF(a),
F(x)(x)F(a).
由F(b)(b)F(a),
得(b)F(b)F(a),
即
牛顿莱布尼茨公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系.
三、牛顿莱布尼茨公式
若F(x)是连续函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数, 则
定理3(牛顿莱布尼茨公式)
解:
解:
例4 计算 .
例3 计算 .
例4 设 , 求 .
解
解 这是求由曲线ysin x 直线x0 x及x轴所围成的曲
边梯形的的面积
解:
例6 计算正弦曲线ysin x在[0 p]上与x轴所围成的平面
图形的面积
例5 计算 .
例7 汽车以每小时36km速度行驶, 5m/s2刹车. 问从开始刹车到停车, 汽车走了多少距离？
t2(s).
当汽车停止时, 有
v(t)v0at105t.
刹车后 t 时刻汽车的速度为
v(t)105t 0,
汽车刹车时的初速度为
解
提示：
首先要计算从开始刹车到停车所需的时间T, 然后计算速度v(t)在时间区间[0, T]上的定积分.
例7 汽车以每小时36km速度行驶, 5m/s2刹车. 问从开始刹车到停车, 汽车走了多少距离？
于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为
t2(s).
当汽车停止时, 有
v(t)v0at105t.
刹车后 t 时刻汽车的速度为
v(t)105t 0,
汽车刹车时的初速度为
解
THANKS
谢谢聆听