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加密算法
一个加密系统S可以用数学符号描述如下：
S={P, C, K, E, D}
其中  
P——明文空间，表示全体可能出现的明文集合，
C——密文空间，表示全体可能出现的密文集合，
K——密钥空间，密钥是加密算法中的可 
使第三者作因数分解时发生困难......... 
 
 
<定理> 
若 p, q 是相异质数, rm == 1 mod (p-1)(q-1), 
a 是任意一个正整数, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq, 
则 c == a mod pq 
 
证明的过程, 会用到费马小定理, 叙述如下: 
m 是任一质数, n 是任一整数, 则 n^m == n mod m 
(换另一句话说, 如果 n 和 m 互质, 则 n^(m-1) == 1 mod m) 
运用一些基本的群论的知识, 就可以很容易地证出费马小定理的........ 
 
<证明> 
因为 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整数 
因为在 modulo 中是 preserve 乘法的 
(x == y mod z  and  u == v mod z  =>  xu == yv mod z), 
所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq 
 
1. 如果 a 不是 p 的倍数, 也不是 q 的倍数时, 
   则 a^(p-1) == 1 mod p (费马小定理)  =>  a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p 
      a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理)  =>  a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q 
   所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1  =>  pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1 
   即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq 
   =>  c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq 
 
2. 如果 a 是 p 的倍数, 但不是 q 的倍数时, 
   则 a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) 
   =>  a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q 
   =>  c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q 
   =>  q | c - a 
   因 p | a 
   =>  c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p 
   =>  p | c - a 
   所以, pq | c - a  =>  c == a mod pq 
 
3. 如果 a 是 q 的倍数, 但不是 p 的倍数时, 证明同上 
 
4. 如果 a 同时是 p 和 q 的倍数时, 
   则 pq | a 
   =>  c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq 
   =>  pq | c - a 
   =>  c == a mod pq 
                                        . 
 
 
这个定理说明 a 经过编码为 b 再经过解码为 c 时, a == c mod n  (n = pq).... 
但我们在做编码解码时, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n, 
所以这就是说 a 等於 c, 所以这个过程确实能做到编码解码的功能..... 
二、RSA 的安全性
RSA的安全性依赖于大数分解，但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明，因为没有证明破解 RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法，那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前， RSA 的一些变种算法已被证明等价于大数分解。不管怎样，分解n是最显然的攻击方法。现在，人们已能分解多个十进制位的大素数。因此，模数n 必须选大一些，因具体适用情况而定。
三、RSA的速度
由于进行的都是大数计算，使得RSA最快的情况也比DES慢上倍，无论是软件还是硬件实现。速度一直是RSA的缺陷。一般来说只用于少量数据加密。
四、RSA的选择密文攻击
RSA在选择密文攻击面前很脆弱。一般攻击者是将某一信息作一下伪装( Blind)，让拥有私钥的实体签署。然后，经过计算就可得到它所想要的信息。实际上，攻击利用的都是同一个弱点，即存在这样一个事实：乘幂保留了输入的乘