第一章 行列式2.pdf

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第三节行列式的性质
将行列式D 的行与列互换后得到的行列式, 称为 D
的转置, 记为DT 或 D′, 即若

aaa
1211 1n 2111
aaa n1
2221
aaa 2n
aaa
, 则 T 2212 n2
D =
D =

aaa
nn 21 nn 21 nn
aaa nn
1
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性质 1 行列式与它的转置行列式相等,即 D = DT .
证由定义, D的一般项为
−)1( 21
jjjN n )(
aaa ,
21 21 njjj n
它的元素在D 中位于不同的行不同的列,因而在 DT
中位于不同的列不同的行,故这n个元素的乘积在DT
中应为
aaa .
21 21 nnjjj
易知其符号也是− 21
jjjN n )( .)1( 因此D 与DT 是具有
相同项的行列式,即 D = DT .
性质1表明:行列式是行具有的性质,它的列也同样
具有.
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行列式性质 2
性质 2 交换行列式的两行(列),行列式变号.
证设
1211
aaa 1n 1211
aaa 1n


aaa
aaa
ii 21 in 交换D 的 ss 21 sn

,
,
D = 第行与 D1=

aaa i
ss 21 sn ii 21
aaa in

第行得s

aaa
nn 21 nn nn 21
aaa nn
记的一般项的n 个元素的乘积为
aaa ,
D 21 21 njjj n
它的元素在D 中位于不同的行不同的列,因而在 D1
中也位于不同的行不同的列, 故也是D1 中的一般项
的n 个元素的乘积. 3
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行列式性质 2
性质 2 交换行列式的两行(列), 行列式变号.
证
它在D 的符号为−)1( 1(
+ 21
jjjNnsiN n )() ,
1(
+ 21
jjjNnisN n )()
它在D1 的符号为−)1( ,
因为对换改变排列的奇偶性
D1 = −D. 证毕.
推论若行列式有两行(列)完全相同, 则此行列式为零.
证互换相同的两行,有 D = −D D = .0 证毕.
注:交换 i, j两行(列)记为 r ↔ r ↔ cc jiji ).(
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例如
571571 1 7 5 7 1 5
266 −= 53 8 , 6 6 2 −= 6 6 2.
853 266 3 5 8 5 3 8
推论如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列
式为零.
证明互换相同的两行,有= −DD ,
∴ D = .0
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行列式性质 3
性质 3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数 k
乘以行列式.
11 12
aaa 1n 1211
aaa 1n

即 D1= 1 kaka ii 2
kain = k ii 21
aaa in = kD,

n1 n2
aaa nn nn 21
aaa nn
证因为行列式D1 的一般项为
−)1( ( 1
jjjN ni ) )(
akaa
1 j1 iji njn
= k −)1[( ( 1
jjjN ni )
aaa ],
1 1 i njijj n
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行列式性质 3
性质 3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数 k
乘以行列式.
即 D1= kD,
证因为行列式D1 的一般项为
−)1( ( 1
jjjN ni ) )(
akaa
1 j1 iji njn
= k −)1[( ( 1
jjjN ni )
aaa ],
1 1 i njijj n
上式右端中括号内是D 的一般项 D1 = kD.
推论 2 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可
以提到行列式符号的外面.
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推论 3 行列式中若有两行(列)元素成比例, 则此行
列式为零.
注: 第行i (列)乘以数k 记为 r × k cii × k).(
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例4 若 D −= 013 , 则
− 121
− 2 0 − 4 1 0 2
−