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线性变换和相似等价类的对应关系
设有两个非空集合V,U,若对于V中任一元素a,按照一定规则 总有U中一个确定的元素0和它对应，则这个对应规则被称为从 集合V到集合U的变换(或映射)，记作0 =T( a)或0 =Ta ,( a € V)。
2 nn n
这里a，i，j=l，...，n，就是aC )关于基a ,…,a的坐标
j j 1 n
•令
(a a
11 12
a
1n
A=
a a
21 22
a a
n1 n 2
a
nn
n阶矩阵A叫做线性变换b关于基｛x ,a，…,a ｝
1 2 n
第j列元素就是这样，取定F上n维向量空间V的一个基之后，对于V
的每一个线性变换，有唯一确定的
F上n阶矩阵与它对应.
为了计算牝）关于基｛x
,a ,…,a ｝的坐标，我们把等式 ⑵写成矩
1 2 n
阵形式的等式
GO bCc)…,a
1 2 n
=(a , a，…,a
1 2
)A・
x a + x a h f x a
1 1 2 2 n n
=Ci , a，…,a )
1 2 n
(x )
1
x
2
Ix丿
n
因为b是线性变换，所以
⑷ b € ) = xb x b(x )
12 2 n n
/ x )
1
=GO )bC )••• qG )
1 2 n
x
将⑶代入⑷得
(x )
1
x
）的坐标所组成的列是
2
最后等式表明，n（g）关于（x ,«,,•••,a
1 2
(x )
1
x
2
比较等式（1）,我们得到
定理1令V是数域F上一个n维向量空间
是V的一个线性变
换,而关于V的一个基的矩阵是
厂a
ii
a
12
a
1n
a
21
a
22
A=
a
nn
a a
如果V中向量g关于这个基的坐标是（x
n1 n 2
,x ,…,x ），而Q（g）的坐标是
1 2 n
(y ,y，…,y)，那么
1 2 n
y2
=A
・・・
3
在空间V内取从原点引出的两个彼此正交的单位向
2
量£ ,£作为v的基• 1 5 2 2 2
V的一个线性变换•我们有
2
)=£ cos9+£ sin9,
a d sin9+£ cos9.
2 1 2
所以a关于基佢,£ ｝的矩阵是
1 2
'cos9 - sin9'
、sin9 cos9 丿
设眾V，它关于基｛£ , £ ｝的坐标(x , x )是，而a◎的坐标是(y , y )
2 1 2 1 2 1 2
那么：
r cos9
、sin9
-sin9)
cos9 丿
设A向量空间V的线性变换，如果
(山旳,Aa2，-，
则矩阵A称为线性变换A在基口 下的矩阵.
(1)相似矩阵：对于两个n阶方阵A,B,如果存在一可逆矩阵C,使 得B=C-^AC，则称方阵A与B相似，记为A〜B.
(2 )线性变换的特征值和特征向量：设A是向量空间的一个线性变 换，如果存在实数几和V中非零向量g,使得A?=入g,贝U称入为A 的一个特征值，E为A的属于特征值入的一个特征向量.
(3 )矩阵的特征值和特征向量：设A为一个m阶实矩阵，如果存在
m维非零向量口=(说 ，使得£口=丸口雄R，则称入为矩阵A的
特征值，茂为A的属于特征值入的特征向量.
下面定义线性变换的运算.
1、正交变换的性质：设A是欧氏空间的一个线性变换，则下面几 个命题等价：
A是正交变换；
A保持向量的长度不变，即对于任意的曲4辰卜闽；
如果口is,…s 是V的标准正交基，贝U川口1/血,…V%也是V 的标准正交基.
A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.
2、线性变换矩阵的性质：
①设V的线性变换A在基旳，強，…s 下的矩阵为A,向量口在基 □ss下的坐标为⑴忌,…，心)，貝口在此基下的坐标为 …丹)，
则
=A
・・・
・・・
严J
② 设与01,02,…風是向量空间V的两组基，从基 旳，旳，…s到基 仏02,… 处 的过渡矩阵为C，又设线性变换A的这组 两基下的矩阵分别为A, B，则B=C-\〜B.
3、线性变换的矩阵可以是对角阵的充要条件：设V为m维向量 空间，A
，使得A在这组 基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是A有m个线性无关的特征向量.
4、方阵相似于对角矩阵的充要条件：n阶方阵A相似于对角矩阵 的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.
五、线性变换在不