第三章 曲线的凹凸与拐点.ppt

曲线的凹凸与拐点前面我们介绍了函数的单调性和极值,这对于了解函数的性态很有帮助,但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状,还须要考虑弯曲方向。 o yx L 3L 2L 1A B 如右图所示 L 1,L 2 ,L 3虽然都是从 A点单调上升到 B点,但它们的弯曲方向却不一样。 L 1是“凸”弧, L 2是“凹”弧,L 3既有凸弧,也有凹弧, 这和我们日常****惯对凹凸的称呼是一致的。一、曲线凹凸的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?x yox yo 1x 2x )(xfy?图形上任意弧段位于所张弦的上方 x yo )(xfy? 1x 2x 图形上任意弧段位于所张弦的下方 A B C 2 定义;),()( ,2 )()()2 (,, ),(,),()( 212121 内的图形是凹的在那末称恒有两点内任意如果对内连续在设baxf xfxfxxfxx babaxf???;),()( ,2 )()()2 ( ,,),( 2121 21 内的图形是凸的在那末称恒有内任意两点如果对 baxf xfxfxxf xxba???;)(],[)(,)( ),(,],[)(的或凸内的图形是凹在那末称的或凸内的图形是凹且在内连续在如果 baxf babaxf 3二、曲线凹凸的判定 x yo )(xfy?x yo )(xfy?ab A B 递增)(xf ? ab BA0???y 递减)(xf ?0???y 定理 1.],[)(,0)()2( ;],[)(,0)()1( ),(, ),(,],[)( 上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在二阶导数内具有在上连续在如果 baxfxf baxfxf ba babaxf?????? 4 证明 2121 ),,(,)2(xxbaxx??? 0210 210,2 xxxxh xxx??????记上?对],[ ],,[)( 2001xxxxxf ???? L—??,? hfxfxf)()()( 110????)( 011xx???hfxfxf)()()( 202????)( 220xx??????减,? hffxfxfxf )]()([ )]()([)(2 21210??????????? 0)(???xf ?单调减?],[)(baxf ??0)()( 2121??????????ff?0 )]()([)(2 210????xfxfxf 52 )()(2 2121xfxfxxf ??????????这?证明了?是上凸的?),()(baxf ???证? 1?注定理的结论可推广到任意区间上例1. 3 的凹凸性??曲线 xy?解,3 2xy???,6xy????, ?0?x ,0???y ?凸的??曲线]0,( ????, ?0?x ,0???y ?凹的??曲线),0[ ???.)0,0(点是曲线?凸?凹的??点?意到, 6三、曲线的拐点及其求法??曲线上凹凸的??点称?曲线的拐点. 定理 2 如果)(xf 在),( 00????xx 内存在二阶导数, 则点??)(, 00xfx 是拐点的必要条件是0)( 0 "?xf . ????注意:?点?的?线???点???曲线. ???点的??证,)( ???? xf?,)( ????? xf ?? 7,])([)( 0 ??????xxfxf ?????,))(,( 00 是?点?xfx?,)( 0 ??极值?xxf ??, ?????函数??)(????xf 方法 1:,0)( ,)( 0 0???xf xxf?的?????????函数; ))(,(,)()1( 00 0 ???点点????? xfxxfx ??. ))(,(,)()2( 00 0 不是?点点不????? xfxxfx ?? 8 例2. 143 34 凹?凸的??的?点??曲线???xxy 解),(: ???? D?,12 12 23xxy???).3 2(36????xxy,0???y?.3 2,0 21??xx? x)0,( ??),3 2( ??)3 2,0( 03 2)(xf ??)(xf ???00 凹的凸的凹的?点?点)1,0( ) 27 11 ,3 2( 9 ).,3 2[ ],3 2,0[ ],0,( ????凹凸??? 10