透视热点 把握趋势.doc

透视热点把握趋势
安徽李庆社
近年来高考中的圆锥曲线综合题的总体难度有所下降,,、:

在2006年各省市试题(含新、旧课程卷)中,除了上海卷外,全都“不约而同”地考查了直线和圆锥曲线的位置关系,这一经典内容依然是今后考查的热点.
例1 给定抛物线,是的焦点,过点的直线与抛物线相交于两点.
(1)设的斜率为1,求与夹角的大小;
(2)设,若,求在轴上截距的变化范围.
解析:(1)设、,抛物线的焦点为,直线的斜率为1,故的方程为.
代入方程并整理,得.
则,.
.


.
.
可得与夹角的大小为;
(2)由题设,得,
即
由②,得,
∵,,∴.③
联立①③,,
∴或.
又,得直线方程为或.
当时,在轴上的截距为或.
∵随在上增大而递减,
∴,.
直线在轴上截距的变化范围为.

在2006年高考文、理科(含文理科合卷)12个省市的新课程卷中,有6个省市(全国卷Ⅰ、卷Ⅱ、江苏卷、辽宁卷、天津卷、湖南卷)关于圆锥曲线的试题与向量综合,主要涉及到向量的和、数量积等,这与前几年的新课程卷命题特点相吻合.
例2 设双曲线与直线相交于两个不同的点.
(1)求双曲线的离心率的取值范围;
(2)设直线与轴的交点为,且,求的值.
简解:(1)联立直线与双曲线的方程,得,(※)
由且,得或.
离心率,则;
(2)易知,设、.
由,得.
由于是方程(※)的根,且,
可知,,
消去,得,解得.

2006年上海卷、湖北卷、浙江卷命题与数列相交汇,2005年的江苏卷也曾以这种方式命制试题.
例3 设,,…,是二次曲线上的点,且,,…,构成了一个公差为的等差数列,.
(1)若的方程为,.点及,求点的坐标(只需写出一个);
(2),对于给定的自然数,当公差变化时,求的最小值;
(3)请选定一条除椭圆外的二次曲线及上的一点,对于给定的自然数,写出符合条件的点,,…,存在的充要条件,并说明理由.
简解:(1)点的坐标可以为;
(2)原点到二次曲线上各点的最小距离为,最大距离为.
∵,∴,
且,∴.
∵,,
∴在上递增,
故的最小值为;
(3)选择1:双曲线,点,对于给定的,点