第十四讲 平面向量经典难题复习巩固.doc

1 精典专题系列第 14 讲平面向量(一) 一、导入: 难解的结古罗马时代,一位预言家在一座城市内设下了一个奇特难解的结,并且预言,将来解开这个结的人必定是亚细亚的统治者。长久以来,虽然许多人勇敢尝试,但是依然无人能解开这个结。当时身为马其顿将军的亚历山大, 也听说了关于这个结的预言, 于是趁着驻兵这个城市之时, 试着去打开这个结。亚历山大连续尝试了好几个月,用尽了各种方法都无法打开这个结,真是又急又气。有一天,他试着解开这个结又失败后,恨恨地说:“我再也不要看到这个结了。”当他强迫自己转移注意力, 不再去想这个结时, 忽然脑筋一转, 他抽出了身上的佩剑, 一剑将结砍成了两半儿–结打开了。大道理:勇敢地跳出思想的绳索,打开心结。过后会发现,事情实际上没有看到的和想象中的那么困难。积极一点,什么都会给你让路。二、知识点回顾: 1 .向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量; 向量的大小叫做向量的长度(或模) 零向量长度为 0 的向量;其方向是任意的记作 0 ?单位向量长度等于 1 个单位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量 0 ?与任一向量平行或共线共线向量平行向量双叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量 0 ?的相反向量为 0 ? 2. 向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算(1 )交换律: a b b a ? ??? ???。(2 )结合律: ( ) ( ) a b c a b c ? ????? ????? DS E 金牌化学专题系列 2 减法求a ?与b ?的相反向量 b??的和的运算叫做 a ?与b ?的差数乘求实数λ与向量 a ?的积的运算(1). a a ? ??? ?(2)当λ>0时,a??与a ?的方向相同;当λ<0时,a??与a ?的方向相反;当λ=0时,a??=0 ?( ) ( ) ; a a ?? ???? ?( ) ; a a a ? ???? ??? ??( ) a b a b ? ??? ??? ? ?? 3 .共线向量定理向量 a(a ≠ 0)与b 共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得 4 .两个向量的夹角 5 .平面向量基本定理及坐标表示(1) 平面向量基本定理定理:如果 e1, e2 是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任意向量 a, 一对实数λ1,λ2 ,使 a=. 其中,不共线的向量 e1, e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组. (2) 平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中, 分别取与 x轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i,j 作为基底, 对于平面内的一个向量 a ,有且只有一对实数 x,y ,使 a= xi+ yj ,把有序数对叫做向量 a 的坐标,记作a= ,其中叫做 a在x 轴上的坐标, 叫做 a在y 轴上的坐标. ②设 OA ????= xi+ yj ,则向量 OA ????的坐标(x, y) 就是的坐标,即若 OA ????= (x, y) ,则 A 点坐标为,反之亦成立. (O 是坐标原点) 6. 平面向量坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a= (x 1,y 1),b= (x 2,y 2) ,则 a+b=,a-b=, λa=, |a|=. 定义范围已知两个向量 a,b,作 OA ????=a, OB ????=b, 则∠ AOB =θ叫做向量 a与b 的夹角( 如图) 向量夹角θ的范围是,当θ= 时,两向量共线,当θ= 时,两向量垂直,记作 a⊥ (2) 向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. ②设 A(x 1,y 1), B(x 2,y 2) ,则 AB ????=, | AB ????|=. 7. 平面向量共线的坐标表示设a= (x 1,y 1),b= (x 2,y 2) ,其中 b≠ ∥b?. 三、专题训练: 考点一向量的有关概念给出下列命题: ①若|a|= |b| ,则 a=b; ②若A,B,C,D 是不共线的四点,则 AB ????= DC ????是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件; ③若a=b,b=c ,则 a=c; ④a=b 的充要条件是|a| = |b| 且a∥b; ⑤若a∥b,b∥c ,则 a∥ c. 其中正确命题的序号是() A. ②③ B. ①② C. ③④ D. ④⑤[ 自主解答]①,但它们的方向不一定相同. ②正确. ∵ AB ????= DC ????,∴| AB ????|=| DC ????|且 AB ????∥ DC ?