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圆锥曲线的焦半径巧用print.doc


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圆锥曲线的焦半径巧用
圆锥曲线的焦半径为:二次曲线上任意一点Q到焦点的距离.
圆锥曲线的焦半径概念,是圆锥曲线中的一个重要的概念.许多圆锥曲线的求解问题,往往都牵涉到 它,且运用圆锥曲线的焦半径分析问题可给解题带来生机.因此,掌握它是非常重要的.
椭圆焦半径:R左=a + xe, R右=a- xe,
右支双曲线焦半径:R左=xe + a, R右=xe- a (x>0),
左支双曲线焦半径:R左=-(x e + a), R右=-(x e- a) (x <0),
抛物线焦半径:Rm=x+-.
2
对于这些结论我们无须花气力去记,只要掌握相应的准线方程及标准方程的两种定义,可直接推得.如 对双曲线而言:当P(x°,yo)是双曲线b2x2-a2y2^a2b\a>0,b>0)右支上的一点,Fh F2是其左右焦点.
2
则有左准线方程为x = .
C
2
由双曲线的第二定义得,左焦半径为I PFt \=e{x0+^-) = ex0+a ;
由 IPF1I- IPF2I =2a,得 IPF2I = IPF2I -2a = ex0-a. (IPF2I亦可山第二定义求得).
例1已知Fi,F2是椭圆E的左、右焦点,抛物线C以Fi为顶点,F2为焦点,设P为椭圆与抛物线的 一个交点,如果椭圆E的离心率e满足IPF」= elPF2l,则e的值为()
(A)毛 (B)2-心 (C)毛 (。)2-抠
2 3
解法 1 设 Fi(-c,O), F2(c,O), P(xo,yo),
2
于是,抛物线的方程为y2=2(4c)(x + c),抛物线的准线/: x=-3c,椭圆的准线m: x = -^, c
设点P到两条准线的距离分别为d".于是,由抛物线定义,得rfi = IPF2l, ①
又由椭圆的定义得IPF,l = eA,而IPF」= elPF2l, ②
由①②得d,= IPF,l,故di=d,,从而两条准线重合. .I -3c =-右nW =L»e =也.故选(C).
c 3 3
解法 2 山椭圆定义得 IPF1l + IPF2l = 2a,又 IPF1l = elPF2l, A I PF21 (1+e) = 2n, ①
又由抛物线定义得IPF2I-x0 + 3c,即x0 = I PF21 - 3c, ②
由椭圆定义得IPF2l = a-ex°, ③
由②③得 I PF2 I = a- e I PF21 + 3ec,即 I PF21 (1+ e ) = a + 3ec, ④
由①④得2a = a + 3ec,解得e = f ,故选(C).
点评结合椭圆、抛物线的定义,并充分运用焦半径是解答本题的基本思想.
例2设椭圆EC + a2y2 = a~b2 (a> b> 0),的左、右焦点分别为F,, F2,右顶点为A,如果点M为椭 圆E上的任意一点,且IMF|I・IMF,I的最小值为着.
4
求椭圆的离心率e;
设双曲线Q:是以椭圆E的焦点为顶点,顶点为焦点,且在第一象限内任取Q上一点P,试问是 否存在常数入(入> 0),使得/PAFi = X ZPF,A成立?试证明你的结论.
分析对于(1)可利用焦半径公式直接求解.而(2)是一探索型的命题,解题应注重探索.由于在解析 几何中对角的问题的求解,往往要主动联想到

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  • 时间2022-06-23