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圆锥曲线的焦半径巧用print.doc


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圆锥曲线的焦半径巧用
圆锥曲线的焦半径为:二次曲线上任意一点Q到焦点的距离.
圆锥曲线的焦半径概念,,往往都牵涉到 它,, = 3c,而IAFd = 3c,
△PAR是等腰直角三角形,即ZPAF—m , /PF|A = S,从而可得* = 2.
PA不与x轴垂直时,则要证ZPAFi = 2ZPF,A成立即可.
由于点PS,、)在第一象限内,故PF,, PA的斜率均存在,从而,有
kPF =——— = tan ZPFj A , kPA =————=- tan APAF}, 且有 代=3(.” + c)(.“ 一 c), 淤
1 xx+c xx-1c
XV tan2ZPF1A =
2%巨
l-k2PF1
2(xi+c)vi
(尤1 +c)2 - y了
将※代入得 tan2/PF/ =之⑴ +:川,=二_ = ,由此可得 tan2ZPFjA= tanZPAFj,
(工1 + c) - Yi 明—2c
P 在第一象限,A(2c,0), ZPAF, 6(0,
又ZPFiA为锐角,于是,山正切函数的单调性得2ZPF1A=ZPAF1.
综合上述得,当入=2时,双曲线在第一象限内所有点均有/PAF—2ZPF1A成立.
解法2山题意得 双曲线的离心率e = 2,且双曲线的实半轴长为c,半焦距为2c,
2 2
故设双曲线Q的方程为 二-土 = 1,
C- 3c-
由于点P⑴,、)在第一象限内,故PF,, |A为锐角.
又 Vj2 = 3( X] + c)(X| -c), 淤
设 ZPFiA = B,贝 U tan fl = kPF
1 xx+c
设ZPAFi=AB, X0#9O° 时,贝U tan(AB) = -^=二一
明-2c
而 tan(入 B- B) = tan(祕-tan0 = i—Zc 巧+c = 一力(2明一c)
1 + tan(羽)tan少 】十(_ 力 )(力) -cx{ -2c2 -y^
xx - 2c xl +c
=-为(2七-c) = 一为(2尤1 - c) = Vi
(尤1 一 2c)(x1 + c) - 3(Xj + c)(尤i - c) (■] + c)(c - 2尤]) (xt + c)
tan(入 8- 8) = tan B.
ZPFiA"为锐角,又 ZPAFi = ABw(O,m,.・.tanM-B) = tanB>O,故璀-B是锐角, 由正切函数的单调性得入=2.
显然,当AB = 90°时亦成立.
故存在入=2,使得双曲线在第一象限内所有点均有2ZPFiA=ZPAFi成立.
解法3由上述①,得入=2,设P'是射线PA上的一点,其横坐标为xo(xo>c),
在x轴上取一点N(2 xo +c , 0),使Z\P' FiN为等腰三角形,
.•.ZP'FiN=ZP''AFi = 2ZP'FiA 时,有ZP1 AFi = 2ZP'NA, 从而 ZAP'N^ZP'NA, 则 IANI = IAP'I,
又A(2c,0),于是IANI = IAP' I = 2x0-'作P'H垂直

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  • 时间2022-06-23