圆锥曲线的统一极坐标方程.doc

圆锥曲线的统一极坐标方程
一、教学目标
（一）知识教学点
掌握三种圆锥曲线的统一极坐标方程，了解统一方程中常数的几何意义（（二） 能力训练点
会根据已知条件求三种圆锥曲线的极坐标方程，能根据圆锥曲线的统一极坐标 方程进
行有关计算焦准距（ep为
£ 通径一半）.但是，对方程P = 3~（m、n« s>0）.如何求曲线的
m -ncos w、
有关几何量e, p, a, b, c,
（讨论后）学生3答：
n s
♦—
原方程即P= 二11 .
1 cos 0
m
此式为统一极坐标方程的标准式
'n c
e =—=—
m a
/
s a a
p= — = — -c = — c n c e
这里，及时将nJ代换，可以回避解关于a、c的二次方程，而 c e
得到一个二元一次方程组，使问题的计算得以简化（
（3）对方程Q =二百显然有
1-ecos u
e?（0, 1）时，表椭圆（
e=l时，表抛物线（
e?（l, +?）时，表双曲线（
但注意到，e, 1时，1-ecos。？0关于9有解，而ep, 0,这样P , 0,甚至无意 义（前面学过，通常情况下，P?0,这就似乎出现矛盾，如何解决这一矛盾,
（讨论后）学生4答：
（如图3-26）±面推导统一方程过程中，当m在左支时，|MA| = |BK| =
|OB|-|OK|=-<t> -pcosO = P =-—— 14-ecos
此时方程与右支的情况不同（
这时，若设0 = M +孔，p /=-p,
则P ' = 也就是（P ' , 9 z ）.
1-ecos 7
符合方程0 = 1 *
1-ecos u
上述推导与分析实际上是:若射线0P与双曲线有两个交点；当视0 =?xOP时, 则P,0（?cos0,0）,此时所表点是右支上的点；当视e =?xOP- JT时，则P ,0,此 时所表点是左支上的点（
综上知，e, 1时，统一极坐标方程所表双曲线情况是:
若P , 0,即1-ecos 9 , 0,则表右支;
若P , 0,即1-ecos 9 , 0,则表左支;
1 - pros G = 0
表双曲线的渐近线.
P t R
取9 ?[0, 2 JT）,贝U 9范围所对曲线如下:
9 € (arccos-. 2兀-arccos上)时，P >： e e
6 € [0, arccos-)v(2^ -arccos—. 2兀) < e e
线左支；
6 = arccos-或 8 =2TT -arccos—®t， P 无意义（P€ R）.方程表两
条渐近线（
如图3-27所示，只有掌握这一对应关系，才能在有关计算中不会造成混乱和
（四）应用举例
例己知怖圆长轴|AiA；J=6,焦距|与写|=4很，过左焦点5作一直
线交椭圆于M、N两点，设?F2F1M= 9 （0?。，兀），求。的值，使|MN|等于短轴 长（
解：以Fl为极点，F1F2为极轴建立极坐标系
a = 3, c = 2 点. .L b = 1,
2摭 V2
e = —' P=T
椭圆的极坐标方程为
1
P = F ・
设 M（ p 1,。）、N（p 2,1
3-2^2 cos 0
|MN