圆锥曲线的综合应用(教师版).doc

圆锥曲线的综合应用
一、圆锥曲线的最值问题
方法1:定义转化法
2 2
【例1】A已知点F是双曲线十一3= 1的左焦点，定点a的坐标为(1,4),尸是双曲线右 支上的动点，则”尸| +物的最小值为.
答案9
方法2：切线由⑴知*v—乎或左>平，
故不存在符合题意的常数k.
三' 圆锥曲线的定值、定点问题
方法1：特殊到一般法
【例1】》已知双曲线C： X2—,^•=1,过圆。：x2+j2 = 2上任意一点作圆的切线/,若I
交双曲线于4 3两点，证明：ZAOB的大小为定值.
证明当切线的斜率不存在时，切线方程为x=±V2.
当x=^2时，代入双曲线方程，得y=i^2,
BP A(y[2,皿)，B(y[2,一也),此时ZAOB = 90°,
同理，当 x=~y[2时，匕403=90°.
当切线的斜率存在时，设切线方程为〉=公+5,
则寸牛=«，即胪=2(1+矽).
由直线方程和双曲线方程消掉y,
得(2—矽讨 _ 2kbx—(Z?2+2) = 0,
由直线/与双曲线交于力，B两点.
故 2—（X1，*1）, 5（%2, *2）・
则由+》2=券，*=警|2
V1V2=(Axi+b)(kxz+A)=/Cx\X2+kb(x\ +》2)+b2
—尸胪―2〃「20?「2胪一矽尸 2胪—2炉 =—2-^ —+2-^+ 2-lc = 2-/C J
,, , ~b2~2 , 2b2~2/c 2(1+炉)
故 X1X2 +.V1V2= 2—k2 + 2—/C = 2—P '
由于胪=2（1+时）, 故 xix2+viV2=0,即QA OB=Q, ZAOB=90°.
综上可知，若/交双曲线于4 3两点，
则ZAOB的大小为定值90°.
方法2：引进参数法
【例2】》如图所示，曲线G：成+¥=1，曲线G： /=4x,过曲线G的右焦点刊作
一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线G，G依次交于3, c, D, 的中点、"BE的中点，证明栏"|法'|为定值•
证明 由题意，知 Fi（—1,0）,歹2（1,0），设 8（xi，yi）, Eg 糜），C（x3,巧），Dg J4）＞
2 ,2
直线y=k（x~l）,代入芸+2=1，
得 8氏+1*+9"—72 = 0,即（8+9"+16切一64矽=0,
5 , 16k 64k2
则刃+力=—有参，"=_两参•
同理，将 v=^（x—1）代入y2=4x,得⑶2—4y—4*=0,
+.V4=Z，.=—4,
\BE\-\GF2\ _\yi-y2\ 汐，+如
所以
/（V1—.盼? （V3+.vJ
V（V1 + V2）2（V3 —V4）2
=/（V1+.V2）2 —, （V3+yJ
\l （V1 +.V2）2 （V3 +.V4）2 — *4
1（
/（8+9尸）2+8+9 炉 叫
_A / —FW—.再二 为7^直’
+16
方法运用训练2
设尸是曲线y2=4x ±的一个动点，则点尸到点/（—1,1）的距离与点尸到x= —1直线 的距离之和的最小值为（）.
A.^2 C.\[5 D 瑚
解析如图，易知抛物线的焦点为F（1,O）,