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圆锥曲线的综合应用(教师版).doc


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圆锥曲线的综合应用
一、圆锥曲线的最值问题
方法1:定义转化法
2 2
【例1】A已知点F是双曲线十一3= 1的左焦点,定点a的坐标为(1,4),尸是双曲线右 支上的动点,则”尸| +物的最小值为.
答案9
方法2:切线法
2
【例2】A求椭圆y+v2=l上的点到直线y=x+2,的距离的最大值和最小值,并求取 得最值时椭圆上点的坐标.
解设椭圆的切线方程为y=x+A,
代入椭圆方程,得3x2+4Z)x+2Z)2-2 = 0.
由,=(牺)2—4X3 X(2Z?—2)=0,得 b=坤.
当b=\[3时,直线y=xJi~\[3与y=x+2,的距离*=普,将b=\[3代入方程3x2+4Z)x
+2胪一2=0,
解得x=一罕,此时v=*
即椭圆上的点[一罕,平)到直线尸x+2出的距离最小,最小值是乎;
当b=~\[3时,直线y=x—y/3到直线y=x+2\[3的距离将b=~\[3代入方程
3x2+4Z?x+262—2 = 0,
解得x=半,此时v=-*
即椭圆上的点尊,一乎)到直线y=x+2y[3的距离最大,最大值是乎.
方法3:参数法
【例3] ►在平面直角坐标系xOy中,点P(x, V)是椭圆y+v2=l ±的一个动点,贝1J S= x+y的最大值为.
2
解析 因为椭圆f+/=l的参数方程为
x=a/3cos (p
' (9为参数).
^ = 8111 (p,
故可设动点户的坐标为(V3cos (p, sin (p),
其中OW9V2兀.
因 此 S=x+y=Scos 9 + sin 9 = 2^^cos 9+§sin J = 2sin所以,当9=气时,S 取最大值2.故填2.
答案2
方法4:基本不等式法
【例4】》设椭圆中心在坐标原点,A(2,0), 5(0,1)是它的两个顶点,直线 >=缸伍>0)与 椭圆相交于E, F两点,求四边形4E3F面积的最大值.
2
解依题设得椭圆的方程为十+.铲=1.
直线4B, EF的方程分别为x+2y=2, = 侬>0).
设 E(xi,Axi), F(X2, kxj,其中 xi<X2,
2
且由,&满足方程(1+4尸)*2=4,故松=—Xi =寸^+4好・①
根据点到直线的距离公式和①式, 得点、E,尸到48的距离分别为
1 _|工1+2衍一2|_2(1 +2左+寸 1 +4 灼
”1- ^5 - 寸5( 1+4矽) ,
_|工2+2此2—2|_2(1 +2-—J1 +4”)
必- ^5 — 寸5(1+4 ”) ,
又|如|=02+1=出,所以四边形AEBF的面积为
1 , 1 I- 4(1+2左) 2(1+2左)
/1 + 4 好 ~\~4k r-
= 2\l ]+4炉、2皿,
当2k=l,即k=\时,取等号.
所以四边形4E3F面积的最大值为2皿.
二' 圆锥曲线的范围问题
方法1:曲线几何性质法 2 2
【例1】-已知双曲线分一春=l(a>0, Q0)的左,右焦点分别为Fi,F2,点P在双曲
线的右支上,且|PFi| = 4|PF2|,则此双曲线的离心率e的取值范围是.
解析根据双曲线定^\PFx\~\PF^ = 2a, T^\PF2\=r,
则|PFi|=4r,故 3r=2a,即

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  • 时间2022-06-23