9-2二重积分的计算(1)范例.ppt

二重积分的计算(1) 一、直角坐标系下二重积分的计算一、直角坐标系下二重积分的计算第九章第二节 1. 积分区域 D为X–型区域 2. 积分区域 D为Y–型区域 3. D既不是 X–型区域,也不是 Y–型区域一、直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算问题:如何计算二重积分????? D Dyxyxfyxfdd),(d),(?? 解决方法: 化二重积分化为两次定积分. 1. D为X–型区域)}()(,),({ 2 1xyxbxayxD???????.],[)()( 21 上连续在区间, 其中 baxx??yx O a)( 2xy??)( 1xy?? bbyx O a)( 2xy??)( 1xy?? 0x 0x D D. )( 00 的边界至多有两个交点该直线与, 穿区域用直线 D Dbxaxx???特点: 定理????? D Dyxyxfyxfdd),(d),(?则?? ba xxyyxfx )()( 21d),(d ??先对 y, 后对 x 积分的二次积分,),( 上连续在有界闭区域设Dyxf 记作xyyxf ba xxd]d),([ )()( 21?????: 则??? DyxfV?d),( 应用计算“已知平行截面面积的立体求体积”的方法(简称平行截面法), 可求此体积. 曲顶柱体的体积. 为顶的为底,以曲面以),(yxfz D?步骤: 1o求平行于坐标面的截面面积 A(x) ],,[ 0bax??几何解释:Dyxyxf??),(,0),(设作平行于 y Oz面的平面 x = x 0 .柱体所得到的截面是一个以区间[ ? 1(x 0 ), ? 2(x 0 ) ] 为底,曲线 z = f (x 0 , y)为曲边的曲边梯形. 这个平面截曲顶??)()( 00 0201d),()( xxyyxfxA ??其面积: ??)()( 21d),()( xxyyxfxA ??——已知平行截面面积?? baxxAVd)(2 ?xyyxf ba xxd]d),([ )()( 21????????? DyxfV?d),(xyyxf ba xxd]d),([ )()( 21??????? ba xxyyxfx )()( 21d),(d ??记作有即],,[bax??)}()(,),({ 2 1yxydycyxD??????? ( ), y? 2 ( ) y?[ , ] c d yx O c)( 2yx??)( 1yx?? dD0y yx O c)( 2yx??)( 1yx?? dD0y 特点: . )( 00 的边界至多有两个交点该直线与, 穿区域用直线 D Ddycyy??? 2. D为Y–型区域????? dc yy Dyxyxf yxfd]d),([ d),( )()( 21 ???当D为Y–型区域时, 有???)()( 21d),(d yy dcxyxfy ??先对 x, 后对 y 积分的二次积分记作为计算方便, 可选择积分次序, )( 2xy??x o yD b a)( 1yx??)( 2yx?? dc 则有x )( 1xy?? y若积分区域既是 X –型区域又是 Y–型区域, 必要时还可以交换积分次序. ?? Dyxf?d),(.d),( )()( 21? yyxyxf ???? dcyd ??)()( 21d),( xxyyxf ??? baxd