基本不等式教案.docx

〈旦
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宿州市泗县第二中学周树
三维目标
知识与技能：<^-，(a>0,b>0)；
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能利用基本不等式阪〈竺土(a>o,b>O)求简单的最大值与最小值。
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方法与过程：，等号何时成立？
设计意图：
本问题加深学生对不等式+b2 > 的理解，强调等号成立的条件。
师生互动：学生展示，老师点拨。
+b2 > lab
证：a2 +b2 - lab = (a- bf > 0
a2 +b2 > lab
设计意图：
“有数无形不直观，有形无数难入微”，通过证明让学生对这个不等式的理解由感性上 升到理性。
师生互动：
学生展示，老师引导学生使用多种方法证明。
/+不2 2泌中，当a>0,b>o时把式中的a换成4a, b换成你可 以得到什么结果？并给出证明过程。
a + b> 14ab 又可以写成 4ab < 色*, (a>0,b>0) ①
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证：要证v二+力
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即证1 + /? > 2^fab
即证a + b-2^[ab > 0
即证(Va-V^)2 >0
又>o显然成立
4ab < 当且仅当a=b时取等号。
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设计意图：
由不等式a2 +b2 > 2ab得出基本不等式4ab < a + , （a>0,b>0）,提高学生归 2
纳类比能力。
师生互动：
学生展示，老师强调本问题是从数的角度对基本不等式阪 <竺女，（a>0,b>0）进行 2
了探讨，其实式中a=0或b=0时不等式也成立，但我们不研究。
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式
，AB是圆的直径，点C是AB ±一点，AC=a,BC=b过点C作垂直于AB 的弦DE,连接AD,,b表示吗？你能利 用
本图形得出①式的几何解释吗？ 可使用相似形ZlACDsziBCD,而CD=4ab，由于CD小
于或等于圆的半径，用不等式表示为4ab<^~ 2
（a>0,b>0）当且仅当a=b时取等号，此时圆心与C
点重合。
设计意图：
学生再次从图形角度认识不等 基^%±（口>0，>0）,通过“形”中的不等关系转化 成“数”间的不等关系，引导学生以联系、变化的眼光看待事物。
师生互动：
学生展示，老师强调石叫正数a、b的几何平均数，g* 叫做正数a、b的算术平均 2
数，昵 <巳|°（。>0,》>0）可叙述为：两正数的几何平均数不大于它们的算术平均 数或两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。在此老师进一步强调a>0,b>0,等号
成立的条件是a=，当正数a、b满足什么条件时4ab有最大值？正数a、b
满足什么条件时B有最小值？同时加上三个例子：1、求x + -的最小值，2、求
2 x
x + y 3 > 0, y > 0）的最小值3、求7%2 +2 + . 1 -的最小值。通过三个例子引导 V%2 +2
学生理解用基本不等式求最值时的注意事项O
三、例题分析: 例1.(1)用篱笆围一个面积为100〃，2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所
用篱笆最短、最短的篱笆是多少？
(2) 一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜 园的面积最大、最大面积