简单的二阶微分方程.ppt

简单的二阶微分方程
工作总结
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工作计划
解
将此两式相除，得
取原点O到点A的距离为定值
于是有
建立坐标系如图所示，设曲线方程为
由题意得
，两端积分，得
将初始条件
简单的二阶微分方程
工作总结
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工作计划
解
将此两式相除，得
取原点O到点A的距离为定值
于是有
建立坐标系如图所示，设曲线方程为
由题意得
，两端积分，得
将初始条件
代入①式，解得
代入①式，得
再将
将
代入上式，并积分得
将初始条件
代入②式，解得
将
代入②式，
解得曲线方程为
小结



思考题
求微分方程 的通解.
思考题解答
思考题解答
练****题
解
受力分析
二、二阶线性微分方程
物体自由振动的微分方程
强迫振动的方程
对于象这样的微分方程，我们给出如下定义:
程称为二阶线性微分方程.
称为二阶线性齐次微分方程.
称为二阶线性非齐次微分方程.
1．二阶线性微分方程的定义
形如
这样的微分方程
/
2．二阶线性齐次微分方程解的结构
问题:
例如
线性无关;
线性相关.
特别地:
例如
3．二阶非齐次线性微分方程解的结构
三、二阶常系数线性微分方程
形如
这样的
微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程．
形如
这样的微分方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程．
例如
是二阶常系数齐次线性微分
方程；
是二阶常系数非齐次线性微分
方程．
／
1．二阶常系数齐次线性微分方程解法
将其代入上方程, 得
∴
特征方程
特征根
（1）有两个不相等的实根
两个线性无关的特解
得齐次方程的通解为
特征根为
（2）有两个相等的实根
一特解为
得齐次方程的通解为
特征根为
（3）有一对共轭复根
重新组合
得齐次方程的通解为
特征根为
的特征方程是
的通解
解
的特征方程为
解得
故所求微分方程的通解为
[例1]
[例2]
求微分方程
的特解.
解
的特征方程为
解得
所求微分方程的通解为
将
分别代入上两式，解得
所求微分方程的特解为
解
特征方程为
解得
故所求通解为
[例3]
小结
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
（1）写出相应的特征方程;
（2）求出特征根;
（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
练****题
二阶常系数非齐次线性方程
对应的齐次方程
通解结构
两种类型
难点：如何求特解？
方法：待定系数法.
2．二阶常系数非齐次线性微分方程解法
设非齐方程特解为
代入原方程
综上讨论
设
是非齐次方程的解，
解
对应齐次方程的通解
特征方程
特征根
代入方程, 得
原方程通解为
[例1]
解
对应齐次方程的特征方程
[例2]
对应齐次方程的通解
特征根
原方程通解为
解
特征方程
[例3]
对应齐次方程的通解
特征根
原方程通解为
小结
(待定系数法)
思考题
写出微分方程
的待定
特解的形式.
设 的特解为
设 的特解为
则所求特解为
特征根
思考题解答
练****题
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