历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类.docx

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前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）
（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复****高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）
2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题（每小题5分绕轴旋转一周而成的旋转体的体积
即
令
，
得
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即
因此
,,.
七、（15分）已知满足, 且, 求函数项级数之和.
解
，
即
由一阶线性非齐次微分方程公式知
即
因此
由知，，
于是
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下面求级数的和：
令
则
即
由一阶线性非齐次微分方程公式知
令，得，因此级数的和
八、（10分）求时, 与等价的无穷大量.
解 令，则因当，时，，故
在上严格单调减。因此
即
，
又
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，
，
所以，当时, 与等价的无穷大量是。
2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷
（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复****高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）
一、（25分，每小题5分）
（1）设其中求
（2）求。
（3）设，求。
（4）设函数有二阶连续导数，，求。
（5）求直线与直线的距离。
解：（1）=
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===
(2)
令x=1/t,则
原式=
（3）
二、（15分）设函数在上具有二阶导数，并且
且存在一点，使得。
证明：方程在恰有两个实根。
解： 二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。
将f(x)二阶泰勒展开：
因为二阶倒数大于0，所以
，
证明完成。
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三、（15分）设函数由参数方程所确定，其中具有二阶导数，曲线与在出相切，求函数。
解：（这儿少了一个条件）由与在出相切得
，
=。。。
上式可以得到一个微分方程，求解即可。
四、（15分）设证明：
（1）当时，级数收敛；
（2）当且时，级数发散。
解：
（1）>0, 单调递增
当收敛时，，而收敛，所以收敛；
当发散时，
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所以，
而，收敛于k。
所以，收敛。
（2）
所以发散，所以存在，使得
于是，
依此类推，可得存在
使得成立，所以
当时，，所以发散
五、（15分）设是过原点、方向为，（其中的直线，均匀椭球
，其中（密度为1）绕旋转。
（1）求其转动惯量；
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（2）求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。
解：
（1）椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离
由轮换对称性，
（2）
当时，
当时，
六、(15分)设函数具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上，曲线积分的值为常数。
（1）设为正向闭曲线证明
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（2）求函数；
（3）设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求。
解：
L不绕原点，在L上取两点A，B，将L分为两段，，再从A，B作一曲线，使之包围原点。
则有
令
由（1）知，代入可得
上式将两边看做y的多项式，整理得
由此可得
解得：
取为，方向为顺时针
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2011年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷
（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复****高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）
计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）
（1）.求；
解：（用两个重要极限）：
（2）.求；
解：(用欧拉公式）令
其中，表示时的无穷小量，
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（3）已知，求。
解：
二．（本题10分）求方程的通解。
解：设，则
是一个全微分方程，设
该曲线积分与路径无关
三．（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且均不为0，证明：存在唯一一组实数，使得。
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证明：由极限的存在性：
即，又，①
由洛比达法则得
由极限的存在性得
即，又，②
再次使用洛比达法则得
③
由①②③得是齐次线性方程组的解
设，则，
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增广矩阵，则
所以，方程有唯一解，即存在唯一一组实数满足题意，
且。
四．（本题17分）设，其中，，为与的交线，求椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。
解：设上任一点，令，
则椭球面在上点M处的法向量为：
在点M处的切平