（整理版）中考数学压轴题二次函数动点问题（五）.doc

中考数学压轴题 二次函数动点问题〔五〕
，抛物线y＝－x 2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．
〔1〕求该抛物线的解析式；
〔2〕设〔1〕中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QA
〔2〕求抛物线的解析式；
〔3〕假设正方形以每秒个长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方局部的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；
〔4〕在〔3〕的条件下，抛物线与正方形一起平移，直至顶点D落在x轴上时停止，求抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积．
解：〔1〕C(3，2)，D(1，3)；
〔2〕设抛物线的解析式为y＝ax 2＋bx＋c，
把A(0，1)，D(1，3)，C(3，2)代入
得 解得∴抛物线的解析式为y＝－x 2＋x＋1；
〔3〕①当点A运动到点F〔F为原B点的位置〕
∵AF＝＝，∴t＝＝1〔秒〕．
当0＜ t ≤1时，如图1．B′F＝AA′＝t
∵Rt△AOF∽Rt△∠GB ′F，∴＝．
∴B ′G＝·B ′F＝×t＝t
正方形落在x轴下方局部的面积为S即为△B ′FG的面积S△B′FG
∴S＝S△B′FG＝B ′F·B ′G＝×t×t＝t 2
②当点C运动到x轴上时
∵Rt△BCC ′∽Rt△∠AOB，∴＝．
∴CC ′＝·BC＝×＝，∴t＝＝2〔秒〕．
当1＜ t ≤2时，如图2．
∵A ′B ′＝AB＝，∴A ′F＝t－．∴A ′G＝
∵B ′H＝t∴S＝S梯形A′B′HG＝(A ′G＋B ′H)·A ′B ′＝(＋t)·＝t－
③当点D运动到x轴上时DD′＝,t＝＝3〔秒〕
当2＜ t ≤3时，如图3．
∵A ′G＝ ∴GD′＝－＝
∴D′H＝－
∴S△D′GH ＝()(－)＝()2
∴S＝S正方形A′B′C′D′ －S△D′GH＝()2－()2＝－t 2＋t－
〔4〕如图4，抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积为图中阴影局部的面积．
∵t＝3，BB′＝AA′＝DD′＝
∴S阴影＝S矩形BB′C′C＝BB′·BC＝×＝15
4.：抛物线y＝x 2－2x＋a〔a ＜0〕与y轴相交于点A，顶点为M．直线y＝x－a分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N．
〔1〕填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，那么M〔 ， 〕，N〔 ， 〕；
〔2〕如图，将△NAC沿轴翻折，假设点N的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；
〔3〕在抛物线y＝x 2－2x＋a〔a ＜0〕上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，求出P点的坐标；假设不存在，试说明理由．
解：〔1〕M(1，a－1)，N(a，－a)．
〔2〕∵点N ′是△NAC沿轴翻折后点N的对应点
∴点N ′与点N关于y轴对称，∴N ′(－a，－a)．
将N ′(－a，－a)代入y＝x 2－2x＋a，得－a＝(－a)2－2×(－a)＋a
整理得4a 2＋9a＝0，解得a1＝0〔不合题意，舍去〕，a2＝－．
∴N ′(3，)，∴点N到轴的距