初一数学奥林匹克竞赛题.doc

初一奥数题一
甲多开支100元，三年后负债600
元．求每人每年收入多少？
S的末四位数字的和是多少？
4．=(x-y)2+3xy．由题设，9｜(x2+xy＋y2)，所以3｜(x2＋xy＋y2)，进而3｜(x-y)2．因为3是质数，
故3｜(x-y)．进而9｜(x-y)2．由上式又可知，9｜3xy，故3｜xy．所以3｜x或3｜y．若3｜x，结合3(x-y)，便得3｜
y；若3｜y，同理可得，3｜x．
9．连结AN，CN，如图1－103所示．因为N是BD的中点，所以
上述两式相加
另一方面，
S△PCD=S△CND＋S△CNP＋S△DNP．
因此只需证明
S△AND＝S△CNP＋S△DNP．
由于M，N分别为AC，BD的中点，所以
S△CNP=S△CPM-S△CMN
=S△APM-S△AMN
=S△ANP．
又S△DNP=S△BNP，所以
S△CNP＋S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND．
（2）answer
1．原式=2x(3x
2
2
×1＋3×1-2x+2000=2003．
-x)+3(3x
-x)-2x+2000=2x
2．原来每天可赢利4×100元，若每件提价x元，则每件商品赢利
(4＋x)元，但每天卖出为
(100-10x)件．如果设每天
赢利为y元，则
y＝(4＋x)(100-10x)=400
＋100x-40x-10x2=-10(x
2-6x＋9)＋90＋400=-10(x-3)2＋490．
所以当x=3时，y最大=490元，即每件提价3元，每天赢利最大，为
490元．
3．因为CE平分∠BCD，DE平分∠ADC及∠1＋∠2=90°(图1－104)，所以
∠ADC＋∠BCD=180°，
所以
AD∥BC．①又因为
AB⊥BC，②
由①，②AB⊥AD．
4．依题意有
所以a2+b2+c2=34．
5．｜x｜｜y｜-2｜x｜+｜y｜=4，即｜x｜(｜y｜-2)+(｜y｜-2)=2，所以(｜x｜+1)(｜y｜-2)=2．
因为｜x｜＋1＞0，且x，y都是整数，所以
所以有
6．设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元，则
因为
y=35000-x，
所以
x(1＋×3)(1＋)
2
×5)=47761，
+(35000-x)(1+
所以
＋48755-=47761
，
所以
=994，
所以
x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元)．
7．因为
(k－1)x＝m-4，①
m为一确实数时，方程组有唯一解．当k=1，m=4时，①的解为一确实数，所以方程组有无穷多组解．
当k=1，m≠4时，①无解．
所以，k≠1，m为任何实数，或k=1，m=4时，方程组最少有一组解．
8．由题设方程得
z＝3m-y．x=19-y-4(3m-y)-m=19+3y-13m．原方程的通解为其中n，m取任意整数值．
9．设苹果、梨子、杏子分别买了x，y，z个，则
消去y，得12x-5z=180．它的解是x=90-5t
，z=180-12t
．
代入原方程，得y=-230＋17t．故x=90-5t
，y=-230+17t
，z=180-12t．
x=20，y=8，z=12．
因此，小王的愿望不能实现，因为按他的要求，苹果最少要有1＋2＋3+4＋5＋6=21＞20个．
初一奥数题三
1．解关于x的方程
2．解方程
其中a＋b＋c≠0．
3．求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展开式中各项系数之和．
4．液态农药一桶，倒出8升后用