热传导方程习题和答案.docx

热传导方程****题和答案
第 二 章 热 传 导 方 程 §1 热传导方程及其定解问题的提 1. 一匀称细杆直径为，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和四周介质发生热 即可随意，故为一非零解。
当时，通解为 由边值得 因故相当于 要非零，必需因此必需即 　　　 这时对应 因取正整数与负整数对应一样，故可取 对应于解T得 对应于解T得 由迭加性质，解为 由始值得 因此 所以 当时， 所以 4．在区域中求解如下的定解问题 其中均为常数，均为已知函数。
[提示：作变量代换] 解：按提示，引，则满意 由分别变量法满意方程及边值条件的解为 再由始值得 故 因此 5．长度为的匀称细杆的初始温度为，端点保持常温，而在和侧面上，热量可以发散到到四周的介质中去，介质的温度取为，此时杆上的温度分布函数满意下述定解问题： 试求出 解：引使满意齐次方程及齐次边值，代入方程及边值，计算后得要满意： 的通解为 由边值 又 得 解之得 因此 这时满意： 设代入方程及边值条件得 求非零解时，才有非零解。这时通解为 由边值得 要，即有非零解，必需 即 令 得 它有无穷可数多个正根，设其为得 对应T为 因此 其中满意方程 再由始值得 所以 应用满意的方程，计算可得 又 所以 得 最终得 其中满意 另一解法：设使满意为此取 代入边值得 解之得 因而 这时，满意 按非齐次方程分别变量法，有 其中为对应齐次方程的特征函数，由前一解知为 即 代入方程得