导数问题面面观（上）.pdf

: .
导数与函数核心考 l：y=kx＋a(a＞0)交于 M，N 两点，当 k＝0 时，分别求 C 在点 M 与 N 处的
切线方程.
x²
解：由题意得：a= ，则 x＝±2 a，即 M(－2 a，a)，N(2 a，a)，
4
x² x
由 f(x)＝ ，得 f ′(x)＝ ，
4 2
当切点为 M(－2 a，a)时，切线斜率为 f ′(－2 a)＝－ a，
此时切线方程为： ax＋y＋a＝0；
当切点为 N(2 a，a)时，切线斜率为 f ′(2 a)＝ a，
此时切线方程为： ax－y－a＝0；
2解题模板一 求在某处的切线方程
⑴写出 f(x)；
⑵求出 f ′(x)；
⑶写出切点(x0，f(x0))；
⑷切线斜率k＝f ′(x0)；
⑸切线方程为y－f(x0)＝f ′(x0)(x－x0).
2. 求过某点的切线方程
点 P 在曲线上 点 P 不在曲线上 点 P 在曲线上
切点 不是切点 不确定是切点


O
P
O O
P P


Step1 设切点为(x0，f(x0))，则切线斜率 f ′(x0)，切线方程为：
y－f(x0)＝f ′(x0)(x－x0)
Step2 因为切线过点(a，b)，所以 b－f(x0)＝f ′(x0)(a－x0)，解得 x0＝x1 或 x0＝x2
Step2 当 x0＝x1 时，切线方程为 y－f(x1)＝f ′(x0)(x－x1)
当 x0＝x2 时，切线方程为 y－f(x2)＝f ′(x0)(x－x2)
1 4
例 f(x)＝ x3＋ 过点 P(2，4)的切线方程.
3 3
1 4
解：设切点为 ， 3＋ ，则切线斜率 ＝ ，
(x0 3x0 3) f ′(x0) x0²
1 4
所以切线方程为： － 3＋ ＝ － ，
y 3x0 3 x0² (x x0)
1 4
由切线经过点 ， ，可得 － 3＋ ＝ － ，整理得： 3－ ＋
P(2 4) 4 3x0 3 x0² (2 x0) x0 3x0² 4
＝0，解得 x0＝－1 或 x0＝2
当 x0＝－1 时，切线方程为：x－y＋2＝0；
当 x0＝2 时，切线方程为：4x－y－4＝0.
例 f(x)＝x3－4x²＋5x－4 过点 (2，－2)的切线方程.
3
解：设切点为(x0，x0 －4x0²＋5x0－4)，则切线斜率 f ′(x0)＝3x0²－8x0＋5，
3
所以切线方程为：y－(x0 －4x0²＋5x0－4)＝(3x0²－8x0＋5) (x－x0)，