第七弹性力学平面问题极坐标系解答资料.doc

第七弹性力学平面问题的极坐标系解答资料
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第七章弹性力学平面问题的极坐标系解答
在平面问题中，有些物体的截
u
r
)
r
2(1
)
(
r
2(1
r
上式代入平衡微分方程可获得用位移表示的平衡微分方程
基本方程。
r
1r
(r
)
Kr0,
r
r
r
r
1
2r
K
0
r
r
r
力的边界条件也同样能够用位移表示。
7按应力法求解

ur)
r
ur)
r
u
)
r
,即位移法的
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在直角坐标系中按应力争解的基本方程为（平面应力问题）
x
xy
fx
0
x
y
xy
y
fy
0
x
y
fx
fy
2
(x
y)
(1)(
)
x
y
2＝
2
2
其中
x
2
y
2
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在极坐标按应力争解的基本方程为（平面应力问题）
r
1
r
r
fr
0
r
r
r
r
1
2r
f
0
r
r
r
fr
1f
fr)
2(r
)
(1
)(
r
r
r
2＝
2
1
1
2
其中
r
2
rr
r2
2
力的边界条件如前所列。

当体力为零fr=f=0时,应力法基本方程中的应力分量能够转为一个待求的
未知函数(r,
)表示,而应力函数
(r,
)所知足方程为
2
1
1
2
4
(r,)=0
或
(
r2
r
)2
0
r
r2
而极坐标系下的应力分量
r,
,r
由
(r,)的微分求得,即：
1
2
1
2
r
r，
r2
，
r22
r
(1
)
1
1
2
r
r
r
r
r
r2
r
第2节轴对称问题

截面的几何形状为圆环、圆盘。
,因此，可知体积力分量f=0；在边
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界上r=r0：F0,u0（沿环向的受力和拘束为零）。
致使物体应力、应变和位移散布也是轴对称的：
在V内u=0，r=0，r=0,
ur=ur(r)，r=r(r),=(r),r=r(r),=(r).
各待求函数为r的函数（单变量的）。

d
r
r
fr
0
（仅一个）：
r
r
（二个）：
r
dur
，
ur
dr
r