第八届华杯赛决赛二试试题及解答答案.doc

第八届华杯赛决赛二试试题及解答
1．4000＋.
2．n的最小值为37.
3．.
4．这四个数是108，117，135，180.
5．略
6．n＝4，小李最高是第二名.
1．解：原式＝
第八届华杯赛决赛二试试题及解答
1．4000＋.
2．n的最小值为37.
3．.
4．这四个数是108，117，135，180.
5．略
6．n＝4，小李最高是第二名.
1．解：原式＝
　　＝
因为上式中分母为1～2000的同分母的两个分数之和，都是2，所以原式＝2×2000＋＝4000＋.
2．解：因为1＋2＋3…＋n＝，要使个位为3，n×（n＋1）的个位应为6，在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这些连续数中，两个连续数个位的积为6的，只有2×3＝6，7×8＝56，考虑到百位不为0，n的值可能为17，22，27，32，37，42，…，从小到大试算，1＋2＋3…＋37＝
＝.
3．解：将△DCB切下，令DC与AB重合，拼接到△ABD上，∠ABE＝∠DCB＝45°，所以，BE∥AD，又AE＝DB，⊥BE，交BE于F，并将△AEF切下，令AE与BD重合，拼接成四边形AFBD，则AFBD是正方形，它的对角线AB＝15厘米，所以这个正方形的面积，也即原图形的面积是＝.
4．解：设这4个数分别为A、B、C、D，和为S，S能被A、B、C整除，设S÷A＝，S÷B＝，S÷C＝，并设A＜B＜C，则 ＞＞（、、均为整数）.下面我们说明≤6，≥＞6，设为7，即设S÷A＝7，A＝S，B＋C＋D＝S－A＝S，
B、C、D中至少有一个不小于S，这与A、B、C、D的百位数字相同相矛盾，所以≤6；同样地，如果＜3，设为2，即C＝S，则A＋B＋D＝S－C＝
S，A、B、D中至少有一个不大于S，也与A、B、C、D的百位数字相同相矛盾，所以≥、B、C、D不相同，即、、只能是5、4、3或6、5、4，但当＝6、＝5、＝4时，D＝S－（A＋B＋C）＝S－（＋＋）＝S，也与A、B、C、D的百位数字相同相矛盾，
所以，、、只能是5、4、，S必为3×4×5＝＝60K，则A＝12K，B＝15K，C＝20K，D＝13K，但A、B、C、D为百位数字相同的三位数，故K＝9，即A＝108，B＝135，C＝180，D＝.
5．解：10个队进行循环赛，每队打9场，，共45×3＝，最高得分最多为17分，最低得分至少为9分，如果按两个17分，两个16分，两个15分，其余分别为9、10、11、12分计算，共138分，将第二名改为15分，第三名改为14分，第七名改为13分，则17×2＋15×2＋14×2＋13＋11＋10＋9＝135；当然也可能是16×2＋15×2＋14×2＋13＋12＋11＋9＝135；
第一种情况是可能的，如：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
　
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
2